대칭 모노이드 범주

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, 틀:Llang)는 동형 사상 아래 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하고, 동형 사상 아래 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. (교환 법칙이 성립하지 못할 수 있는) 모노이드 범주의 개념의 특수한 경우이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )$
• 함자 $\otimes :𝒞\times 𝒞\to 𝒞,(X,Y)\mapsto X\otimes Y$, $\otimes \circ {\sigma }_{𝒞,𝒞}:𝒞\times 𝒞\to 𝒞,(X,Y)\mapsto Y\otimes X$ 사이의 자연 동형 $\sigma :\otimes \Rightarrow \otimes \circ {\sigma }_{𝒞,𝒞}$. 여기서 ${\sigma }_{𝒞,𝒞}:𝒞\times 𝒞\to 𝒞\times 𝒞$, $(X,Y)\mapsto (Y,X)$는 곱범주 위의 표준적인 자연 동형이다.

이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각하자.

• (결합자와의 호환) 임의의 대상 $X,Y,Z\in 𝒞$에 대하여, ${\alpha }_{Y,Z,X}\circ {\sigma }_{X,Y\otimes Z}\circ {\alpha }_{X,Y,Z}=({\mathrm{id}}_Y\otimes {\sigma }_{X,Z})\circ {\alpha }_{Y,X,Z}\circ ({\sigma }_{X,Y}\otimes {\mathrm{id}}_Z)$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}(X\otimes Y)\otimes Z& \stackrel{\sigma }{\to }& (Y\otimes X)\otimes Z\\ \alpha \downarrow & & \downarrow \alpha \\ X\otimes (Y\otimes Z)& & Y\otimes (X\otimes Z)\\ \sigma \downarrow & & \downarrow \sigma \\ (Y\otimes Z)\otimes X& \underset{\alpha }{\overset{}{\to }}& Y\otimes (Z\otimes X)\end{array}$

• (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상 $X,Y,Z\in 𝒞$에 대하여, ${\alpha }_{Z,X,Y}^{-1}\circ {\sigma }_{X\otimes Y,Z}\circ {\alpha }_{X,Y,Z}^{-1}=({\sigma }_{X,Z}\otimes {\mathrm{id}}_Y)\circ {\alpha }_{X,Z,Y}^{-1}\circ ({\mathrm{id}}_X\otimes {\sigma }_{Y,Z})$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}X\otimes (Y\otimes Z)& \stackrel{\sigma }{\to }& X\otimes (Z\otimes Y)\\ {\alpha }^{-1}\downarrow & & \downarrow {\alpha }^{-1}\\ (X\otimes Y)\otimes Z& & (X\otimes Z)\otimes Y\\ \sigma \downarrow & & \downarrow \sigma \\ Z\otimes (X\otimes Y)& \underset{{\alpha }^{-1}}{\overset{}{\to }}& (Z\otimes X)\otimes Y\end{array}$

• (멱등성) 임의의 대상 $X,Y\in 𝒞$에 대하여, ${\mathrm{id}}_{X\otimes Y}={\sigma }_{Y,X}\circ {\sigma }_{X,Y}$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}X\otimes Y& \stackrel{\sigma }{\to }& Y\otimes X\\ \Vert & \swarrow \sigma \\ X\otimes Y\end{array}$

이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 꼬임 모노이드 범주(틀:Llang)라고 한다. 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 이를 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, 틀:Llang)라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다.

성질

모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다.

• (항등원과의 호환) 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, ${\rho }_X={\lambda }_X\circ {\sigma }_{X,I}$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{ccc}X\otimes I& \stackrel{\sigma }{\to }& I\otimes X\\ \rho \downarrow & \swarrow \lambda \\ X\end{array}$

예

(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 대칭 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주(틀:Llang)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 대칭 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주(틀:Llang)라고 한다.

역사

손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다.

꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요(틀:Llang, 1943~)와 로스 하워드 스트리트(틀:Llang)가 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
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