심플렉틱 벡터 공간

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 심플렉틱 벡터 공간(symplectic vector空間, 틀:Llang)은 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간이다.

정의

Ω : V \otimes_{K} V \to K

Ω : (a \otimes b) \mapsto Ω (a, b)

가 다음 조건을 만족시키면, 심플렉틱 쌍선형 형식(틀:Llang)이라고 한다.

$Ω (v, v) = 0 \forall v \in V$
(비퇴화성) 선형 변환 $V \to V^{*}$ , $v \mapsto Ω (v, -)$ 는 단사 함수이다. 즉, 만약 $Ω (v, u) = 0 \forall u \in V$ 라면, $v = 0$ 이다.

심플렉틱 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간 $(V, Ω)$ 를 심플렉틱 벡터 공간이라고 한다.

(임의의 표수의) 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간 $(V, Ω)$ 는 항상 짝수 차원이며, $Ω$ 가 다음과 같은 행렬로 표현되게 만드는 기저가 존재한다.^[1]틀:Rp

Ω = (\begin{matrix} 0_{n \times n} & 1_{n \times n} \\ - 1_{n \times n} & 0_{n \times n} \end{matrix})

이러한 기저를 다르부 기저(틀:Llang)라고 한다.

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 이 주어졌을 때,

V \oplus V^{*}

위에 다음과 같은 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

Ω (a \oplus α, b \oplus β) = ⟨ a, β ⟩ - ⟨ b, α ⟩ (a, b \in V, α, β \in V^{*})

심플렉틱 벡터 공간의 동형

V \oplus V^{*} \to W

가 주어졌을 때, $V$ 를 $W$ 의 라그랑주 부분 공간이라고 한다. 모든 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 가지며, 이는 일반적으로 유일하지 않다.

$2 n$ 차원 심플렉틱 벡터 공간 $(V, Ω)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

\overset{n}{\overset{⏞}{Ω \land Ω \land \dots \land Ω}} \in ⋁^{n} (V)

는 $V$ 위의 부피 형식을 이룬다. 이를 $V$ 의 표준 부피 형식(틀:Llang)이라고 한다.