고리 공간

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 고리 공간(-空間, 틀:Llang)은 어떤 공간 위에 존재하는, 밑점을 보존하는 고리들의 공간이다. 축소 현수의 오른쪽 수반 함자이다.

정의

점을 가진 공간 $X$ 위의 고리 공간은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 ${\mathrm{hom}}_{{\mathrm{Top}}_{\bullet }}({𝕊}^1,X)$이며, $\mathrm{\Omega }X$로 쓴다.

위상 공간 $X$ 위의 자유 고리 공간(틀:Llang)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{Top}}({𝕊}^1,X)$이며, $ℒX$로 쓴다.

고리군

틀:본문 위상군 $G$는 항등원 $1\in G$을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간 $\mathrm{\Omega }G$ 및 자유 고리 공간 $ℒG$는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.

$\alpha \beta :\theta \mapsto \alpha (\theta )\beta (\theta )$

이를 각각 고리군(틀:Llang) 및 자유 고리군(틀:Llang)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형

${\mathrm{ev}}_0:ℒG\to G$

${\mathrm{ev}}_0:\alpha \mapsto \alpha (0)$

이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.

$\mathrm{\Omega }G=\ker {\mathrm{ev}}_0$

유한 에너지 고리의 힐베르트 다양체

$M$이 (유한 차원) 리만 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 주는 것을 생각할 수 있다.

구체적으로, $M$ 위의 고리

$\gamma :[0,1]\to M$

$\gamma (0)=\gamma (1)$

가운데, 일종의 소볼레프 공간 ${\mathrm{L}}^{1,2}({𝕊}^1,M)$에 속하는 것들을 생각하자. 즉,

$\underset{[0,1]}{\int }g(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))\mathrm{d}t<\mathrm{\infty }$

인 것들을 생각하자. 다시 말해, 이는 유한 에너지 고리들의 공간이다.

그렇다면, 이는 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간) $ℒM$을 이룬다. 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간

${\mathrm{L}}^{1,2}({𝕊}^1,{ℝ}^{\dim M})$

과 동형이다.

또한, 표준적으로

$\mathrm{T}ℒM\cong ℒ\mathrm{T}M$

가 된다.

소볼레프 매장 정리(틀:Llang)에 의하여, 모든 ${\mathrm{L}}^{1,2}$ 함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다.

매끄러운 고리들의 프레셰 다양체

$M$이 (유한 차원) 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 매끄러운 함수

$\gamma :{𝕊}^1\to M$

들의 공간 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^1,M)$에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(𝕊,{ℝ}^{\dim M})$

과 동형이다.

성질

위상수학

고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같다.

${\pi }_{k+1}(X)={\pi }_k(\mathrm{\Omega }X)$

특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간 $X$, $Y$에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다.

$[\mathrm{\Sigma }X,Y]\cong [X,\mathrm{\Omega }Y]$

여기서 $\mathrm{\Sigma }X$는 $X$의 축소 현수이며, $[-,-]$는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.

또한 다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만 이는 동형 사상은 아니다.

$[X\times {𝕊}^1,Y]\leftrightarrow [X,ℒY]$

고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산

$\mathrm{\Omega }X\times \mathrm{\Omega }X\to \mathrm{\Omega }X$

이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, "호모토피 아래" 결합 법칙을 따른다. 이 연산으로써 고리 공간은 A_∞-공간을 이룬다.

미분기하학

유한 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 자유 고리 공간 $ℒM$을 생각하자. 이 위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 다음과 같이 작용한다.

$(\exp (2\pi \mathrm{i}t)\cdot \gamma )(s)=\gamma (s+t)$

이는 벡터장

$X\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}ℒM)$

을 정의하며, 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱

$X⌟:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(ℒM)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet -1}(ℒM)$

이 존재한다.

고리 공간 위에는 천 미분 형식(틀:Llang) 또는 반복 적분(틀:Llang)이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다. 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식

${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\in \mathrm{\Omega }(M)$

$\mathrm{deg}{\alpha }_i=n_i+1$

일 때, 천 미분 형식

$\int ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k)\in {\mathrm{\Omega }}^{n_1+\cdots +n_k+1}(ℒM)$

을 정의할 수 있다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

$\int ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k)=\int \cdots \underset{0\le t_1\le \cdots \le t_k\le 1}{\int }\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_k(X⌟{\mathrm{ev}}_{t_1}^{*}{\alpha }_1)\wedge \cdots \wedge (X⌟{\mathrm{ev}}_{t_k}^{*}{\alpha }_k)$

여기서

• $t\in [0,1]$에 대하여, 값매김 사상 ${\mathrm{ev}}_t:ℒM\to M$은 $\gamma \mapsto \gamma (t)$이다. ${\mathrm{ev}}_t^{*}$은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다.
• $\int \cdots \underset{0\le t_1\le \cdots \le t_k\le 1}{\int }$은 $k$차원 단체 ${\mathrm{△}}_k$ 위의 적분이다.

특히, 만약 한 1차 미분 형식 $A$만이 주어졌을 때, 이는 함수

$ℒM\to ℝ$

$\gamma \mapsto \underset{\gamma }{\int }A$

에 해당한다.

천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다. 구체적으로, 천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다.

$\int ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k)\wedge \int ({\alpha }_{k+1},\dots ,{\alpha }_{k+l})=\sum _{\sigma \in \mathrm{Sh}(k,l)}(-{)}^{\sigma }\int ({\alpha }_{\sigma (1)},\dots ,{\alpha }_{\sigma (k+l)})$

여기서

• $\mathrm{Sh}(k,l)$은 셔플 순열의 집합이다. 즉, $\{1,\dots ,k+l\}$의 순열 가운데 $\sigma (1)\le \cdots \le \sigma (k)$이며 $\sigma (k+1)\le \cdots \le \sigma (k+l)$인 것이다.
• $(-{)}^{\sigma }\in \{\pm 1\}$는 순열의 홀짝성이다.

천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{d}\int ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k)=-\sum _{i=1}^k(-{)}^{n_1+\cdots +n_{i-1}}\int ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{i-1},\mathrm{d}{\alpha }_i,{\alpha }_{i+1},\dots ,{\alpha }_k)-{\mathrm{ev}}_0^{*}{\alpha }_1\wedge \int ({\alpha }_k,\dots ,{\alpha }_k)-(-{)}^{n_1}\int ({\alpha }_1\wedge {\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_k)-(-{)}^{n_1+n_2}\int ({\alpha }_1,{\alpha }_2\wedge {\alpha }_3,{\alpha }_4,\dots ,{\alpha }_k)-\cdots -(-{)}^{n_1+\cdots +n_{k-1}}(\int ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{k_1}))\wedge {\mathrm{ev}}_1^{*}{\alpha }_k$

외부 링크

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같이 보기

• 기본군
• 아핀 리 대수
• 현수 (위상수학)