올다발

틀:위키데이터 속성 추적 위상수학에서 올다발(틀:Llang, 틀:Llang)은 국소적으로 두 공간의 곱집합처럼 보이는 위상 공간이다. 전체적(globally)으로는 위상적으로 단순한 곱집합과 위상동형이 아니라 더 복잡한 위상구조를 가지고 있을 수 있다. 다발 이론은 대수적 불변량을 통해 주어진 올다발이 어떤 위상구조를 가지는지 다룬다.

정의

$E,B,F$가 세 개의 위상 공간이라고 하자. 대략, $E$의 모든 점 근처의 근방이 $B\times F$의 꼴이라면 $E$를 밑공간(틀:Lang) $B$ 위에 놓인, 올공간(틀:Lang)이 $F$인 올다발이라고 한다.

엄밀히 말해, 올다발 $(E,B,\pi ,F)$는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다. $E$, $B$, $F$는 위상 공간이며,

$\pi :E\to B$

는 올다발에서 밑공간으로 사영하는 연속적인 전사 함수다. 이 데이터가 올다발을 이루기 위해서는 임의의 점 $x\in E$에 대하여, ${\pi }^{-1}(U)$가 $U\times F$와 위상동형인 근방 $U\ni \pi (x)$가 존재하여야 한다. 뿐만 아니라, $\pi :{\pi }^{-1}(U)\to U$가 사영 함수 $U\times F\to U$와 (위상 동형 아래) 같아야 한다.

다발 사상

같은 밑공간 위의 두 올다발

$E\stackrel{{\pi }_E}{\twoheadrightarrow }B\stackrel{{\pi }_F}{\twoheadleftarrow }F$

이 주어졌다고 하자. $E$에서 $F$로 가는 다발 사상(-寫像, 틀:Llang) $f:E\to F$는

${\pi }_E=f\circ {\pi }_F$

를 만족시키는 연속 함수이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

$\begin{array}{ccc}E& \stackrel{{\pi }_E}{\twoheadrightarrow }& B\\ f\downarrow & & \downarrow {\mathrm{id}}_B\\ F& \twoheadrightarrow {\pi }_F& B\end{array}$

예

자명한 다발

올다발의 가장 간단한 예는 $E=B\times F$인 경우다. 이 때 $\pi :(b,f)\mapsto b$는 단순히 사영 함수다. 이러한 경우를 자명한 다발(틀:Lang)이라고 한다.

벡터 다발

틀:본문 올다발의 대표적인 예는 벡터 다발이다. 이는 올다발의 올공간이 벡터 공간인 경우로, 리만 다양체의 접다발과 공변접다발이 대표적인 예이다. 1차원 벡터 다발은 선다발이라고 한다.

주다발

틀:본문 주다발은 올공간이 군을 이루는 경우로, 미분위상수학과 미분기하학에서 중요한 역할을 하며 또한 게이지 이론에 핵심적인 개념이다.

피복 공간

틀:본문 올공간이 $n$개의 점으로 구성된 이산 공간인 올공간은 $n$겹 피복 공간이라고 한다.

기타 올다발

이 밖에도, 올이 다른 임의의 위상 공간을 이룰 수 있다. 예를 들어, 호프 다발은 그 올이 구인 경우다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:인용
• 틀:콘퍼런스 인용
• 틀:인용
• 틀:인용 (to appear).
• 틀:Springer

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab

같이 보기

• 올뭉치
• 엽층
• 주다발
• 벡터 다발
• 선다발
• 에레스만 접속