마우러-카르탕 형식

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 마우러-카르탕 형식(Maurer-Cartan形式, 틀:Llang)은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값의 1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다.

정의

마우러-카르탕 형식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의하자.

${𝖫}_g,{𝖱}_g:G\to G(g\in G)$

${𝖫}_g:h\mapsto gh$

${𝖱}_g:h\mapsto hg$

내재적 정의

리 군 $G$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터장의 밂

${𝖫}_{g*}:{\mathrm{T}}_{h}G\mapsto {\mathrm{T}}_{gh}G$

를 정의할 수 있다.

$G$의 리 대수는 항등원에서의 접공간과 같다.

$𝔤={\mathrm{T}}_{1}G$

이제, 각 점 $g\in G$에서, 마우러-카르탕 형식

$\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(G;𝔤)$

은 다음과 같은 성분을 갖는 리 대수 값 1차 미분 형식이다.

${\omega }_g(v)={𝖫}_{g^{-1}*}(v)\in {\mathrm{T}}_{1}G=𝔤(g\in G,v\in {\mathrm{T}}_{g}G)$

외재적 정의

임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 일반 선형군 $\mathrm{GL}(n;ℝ)$ 위의 매끄러운 함수

$f_{ij}:\mathrm{GL}(n;ℝ)\to ℝ(i,j\in \{1,2,\dots ,n\})$

가 행렬의 $(i,j)$번째 성분을 고르는 함수라고 하자. 그렇다면, 1차 미분 형식

$\mathrm{d}{f}_{ij}\in {\mathrm{\Omega }}^1(M)$

들을 정의할 수 있다. 이들을 모아

$\mathrm{d}f\in {\mathrm{\Omega }}^1(M)\otimes {ℝ}^{n^2}={\mathrm{\Omega }}^1(M;𝔤𝔩(n;ℝ))$

를 정의할 수 있다.

$\mathrm{GL}(n;ℝ)$ 위의 마우러-카르탕 형식은 다음과 같다.

$\omega {|}_M=M^{-1}\mathrm{d}f$

이제, 다음이 주어졌다고 하자.

• (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군 $G$ 및 그 리 대수 $\mathrm{Lie}(G)=𝔤$

그렇다면, 다음을 임의로 고르자. 우선, $𝔤$는 유한 차원 실수 리 대수이므로, 충분히 큰 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 항상 다음과 같은 단사 실수 리 대수 준동형이 존재한다.

$𝔤\hookrightarrow 𝔤𝔩(n;ℝ)$

이는 마찬가지로 매끄러운 군 준동형

$\varphi :G\to \mathrm{GL}(n;ℝ)$

을 정의한다. 이는 (정의에 따라) 항상 몰입이지만, 일반적으로 단사 함수일 필요가 없다.

그렇다면, $G$의 마우러-카르탕 형식

$\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(G;𝔤)$

는 $\mathrm{GL}(n;ℝ)$의 마우러-카르탕 형식 ${\omega }_{\mathrm{GL}(n;ℝ)}$의 당김

${\varphi }^{*}{\omega }_{\mathrm{GL}(n;ℝ)}\in {\mathrm{\Omega }}^1(G;𝔤𝔩(n;ℝ))$

이다. 이는 사실 $𝔤\subseteq 𝔤𝔩(n;ℝ)$에 속하는 것을 보일 수 있다.

${\varphi }^{*}\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(G;𝔤)$

또한, 이 표현은 $(\varphi ,n)$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

단일 연결이 아닌 연결 리 군 $G$의 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군

$q:\tilde{G}\twoheadrightarrow G$

에 대하여,

$q^{*}{\omega }_G={\omega }_{\tilde{G}}$

가 되는 유일한 미분 형식이다.

공리적 정의

리 군 $G$ 위의 마우러-카르탕 형식은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한 $𝔤$값 1차 미분 형식

$\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(G;𝔤)$

이다.

• ${\omega }_1=\mathrm{id}:{\mathrm{T}}_{1}G\to {\mathrm{T}}_{1}G=𝔤$
• 임의의 $g\in G$에 대하여, ${\omega }_g=\mathrm{Ad}(g^{-1}){𝖱}_{g^{-1}}^{*}{\omega }_1$

이 정의는 주접속의 정의과 같다. 즉, $G$를 한원소 공간 $\{\bullet \}$ 위의 주다발

$G\twoheadrightarrow \{\bullet \}$

로 간주하면, 마우러-카르탕 형식은 그 위의 유일한 주접속이다.

성질

임의의 벡터장 $X\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{T}G)$에 대하여, 만약

${𝖫}_{g*}X=X$

라면, $\omega (X)\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(G,ℝ)$는 상수 함수이다.

유도:

임의의 $g\in G$에 대하여,

$\omega {|}_g(X{|}_g)=({𝖫}_{g^{-1}*}X){|}_g=X{|}_1$

마우러-카르탕 방정식

마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다.

$\mathrm{d}\omega +\frac{1}{2}[\omega \wedge \omega ]=0$

이를 마우러-카르탕 방정식(Maurer-Cartan方程式, 틀:Llang)이라고 한다.

유도:

임의의 두 벡터장 $X,Y\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{T}M)$이 왼쪽 곱셈 밂에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, $\omega (X)$와 $\omega (Y)$는 둘 다 상수 함수이다. 따라서,

${\partial }_X\omega (Y)={\partial }_Y\omega (X)=0$

이다. 따라서,

$\mathrm{d}\omega (X,Y)={\partial }_X\omega (Y)-{\partial }_Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y])=-\frac{1}{2}[\omega \wedge \omega ](X,Y)$

이다. 그런데 왼쪽 불변인 벡터장들은 $G$의 각 점에서의 접공간의 기저를 이루므로, 위 방정식은 점별로 모든 벡터장에 대하여 성립한다. 즉,

$\mathrm{d}\omega =-\frac{1}{2}[\omega \wedge \omega ]$

이다.

마우러-카르탕 방정식의 일반화

리 군 $G$ 위의, $𝔤$ 값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수 $\mathrm{\Omega }(G;𝔤)$를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수 $𝔤$에 대하여 일반화된다. 즉,

$𝔤=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}{𝔤}^n$

위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식

$\mathrm{d}\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]=0$

이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어 $\omega =0$ 역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.)

보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수 $𝔤$를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산 $\mathrm{d}$는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우, $𝔤$ 위의 마우러-카르탕 방정식은 다음과 같다.

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}[\stackrel{k}{\overbrace{\omega ,\dots ,\omega }}{]}_k=0$

역사

루트비히 마우러(틀:Llang, 1859~1927)와 엘리 카르탕의 이름을 땄다.

• 
  루트비히 마우러
• 
  엘리 카르탕

예

아벨 군 $G={ℝ}^n$을 생각하자. 그 위의 마우러-카르탕 형식은 단순히

$(\omega {|}_v{)}_i{}^j={\delta }_i^{j}i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$

이다.

이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 단순히

$\mathrm{d}\omega =0$

이므로, 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab