수직 벡터 다발

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 수직 벡터 다발(垂直vector-, 틀:Llang)은 올다발의 접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.

반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 에레스만 접속이라고 한다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 올다발

$\pi :E\twoheadrightarrow M$

이 주어졌다고 하고, $E$ 및 $E$의 각 올이 매끄러운 다양체를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분

$\mathrm{T}\pi :\mathrm{T}E\twoheadrightarrow \mathrm{T}M$

을 정의할 수 있다. 그렇다면, $E$ 위에 다음과 같은 수직 벡터 다발 $\mathrm{V}E$를 정의할 수 있다.

$\mathrm{V}E=\ker (\mathrm{T}\pi )$

즉,

${\mathrm{V}}_{e}E={\mathrm{T}}_e(E_{\pi (e)})\mathrm{\forall }e\in E$

$\mathrm{\forall }u\in T_{\mathrm{e}}E:(u\in {\mathrm{V}}_{e}E⟺\mathrm{\forall }(\gamma :ℝ\to E,\gamma (0)=e):\frac{\mathrm{d}\gamma }{\mathrm{d}t}(0)=u⟹\frac{\mathrm{d}(\pi \circ \gamma )}{\mathrm{d}t}(0)=0)$

즉, 벡터 다발 $V$의 $e\in E$에서의 올은 $E$의 올의 접공간이다.

$E$ 위의 벡터장 $X$에 대하여, 만약 $X\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}E)$라면 (즉, 만약 모든 $x\in M$에 대하여 $X_x\in {\mathrm{V}}_{e}E$라면) $X$를 수직 벡터장(垂直vector場, 틀:Llang)이라고 한다. 마찬가지로, $E$ 위의 $p$차 미분 형식 $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^p(E)$에 대하여, 만약

$\alpha (X_1,X_2,\dots ,X_p)=0\mathrm{\forall }{X}_1,\dots ,X_p\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{V}E)$

라면, $\alpha$를 수평 미분 형식(水平微分形式, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열

$0\to \mathrm{V}E\hookrightarrow \mathrm{T}E\stackrel{{\pi }^{*}\mathrm{T}\pi }{\twoheadrightarrow }{\pi }^{*}\mathrm{T}M\to 0$

이 존재한다. 이를 아티야 완전열(Atiyah完全列, 틀:Llang)이라고 한다. (여기서 ${\pi }^{*}\mathrm{T}\pi :(e,u)\mapsto (e,\mathrm{T}\pi (u))$이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 분할 완전열이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다. $E$ 위의 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.

예

자명한 올다발

두 매끄러운 다양체 $M$과 $F$가 주어졌고, $E=M\times F$를 $M$ 위의 올다발로 여기자.

$F\stackrel{{\mathrm{proj}}_2}{\leftarrow }E\stackrel{{\mathrm{proj}}_1}{\to }M$

이 경우, 자연스럽게

${\mathrm{T}}_{(m,f)}E={\mathrm{T}}_{m}M\oplus {\mathrm{T}}_{f}F(\mathrm{\forall }m\in M,,f\in F)$

이며, 수직 벡터 다발 $\mathrm{V}E$는 다음과 같다.

$\mathrm{V}E={\mathrm{proj}}_2^{*}\mathrm{T}F\subseteq \mathrm{T}E$

(이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발" ${\mathrm{proj}}_1^{*}\mathrm{T}M\subseteq \mathrm{T}E$ 역시 존재한다. 그러나 이는 임의의 올다발에 대하여 성립하지 않는다.)

주다발

리 군 $G$에 대하여, $\pi :E\twoheadrightarrow M$가 $G$-주다발이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발 $\mathrm{V}E$는 리 대수 $𝔤={\mathrm{T}}_{1}G$에 대한 자명한 벡터 다발과 동형이다.

$\mathrm{V}E\cong 𝔤\times E$

구체적으로, 우선, 임의의 $m\in M$에 대하여, $G$의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

$X:𝔤\to \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}P)$

$X:x\mapsto X_x$

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, $X$의 상은 $P$의 수직 벡터 다발 $\mathrm{V}P=\ker (\mathrm{T}\pi )\subseteq \mathrm{T}P$과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

$P\times 𝔤\to \mathrm{V}P$

를 정의한다. (좌변은 올이 $𝔤$인 자명한 벡터 다발이다.)

벡터 다발

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $\pi :E\twoheadrightarrow M$이 주어졌다고 하자. 이 경우, $E$의 수직 벡터 다발은 스스로의 당김 ${\pi }^{*}E=E{\times }_{M}E$와 표준적으로 동형이다.틀:Rp

$\mathrm{V}E\cong {\pi }^{*}E=E{\times }_{M}E$

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용