스펙트럼 (함수해석학)

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼(틀:Llang)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.

정의

가환환 $R$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 $A$의 원소 $a\in A$의 분해 집합(分解集合, 틀:Llang)은 다음과 같은 집합이다.틀:Rp

$\rho (a)=\{\lambda \in R:\lambda -a\in \mathrm{Unit}(A)\}$

여기서 $\mathrm{Unit}(A)$는 $A$의 가역원군이다. 즉, $\lambda -a$가 가역원이 되는 스칼라 $\lambda$들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을 $a$의 스펙트럼 $\sigma (a)$라고 한다.틀:Rp

$\sigma (a)=R\setminus \rho (a)=\{\lambda \in R:\lambda -a\in ̸\mathrm{Unit}(A)\}\subseteq R(a\in A)$

이 경우, 원소 $(\lambda -a{)}^{-1}\in A$를 $a$의 $\lambda$에서의 분해식(分解式, 틀:Llang)이라고 한다.

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체이며, $A$가 $𝕂$-결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 $a\in A$의 스펙트럼 반지름(spectrum半지름, 틀:Llang)은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.틀:Rp

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(a)=\underset{\lambda \in \sigma (a)}{\sup }|\lambda |$

만약 $A$가 $𝕂$-바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.

유계 작용소의 스펙트럼

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자. $𝕂$-바나흐 공간 $V$ 위의 유계 작용소의 집합 $\mathrm{B}(V,V)$는 $𝕂$-바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉, $\mathrm{B}(V,V)$의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, $𝕂$-바나흐 공간 $V$ 위의 유계 작용소 $T:V\to V$의 스펙트럼 $\sigma (T)$는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.

$\sigma (T)={\sigma }_{\text{p}}(T)\bigsqcup {\sigma }_{\text{r}}(T)\bigsqcup {\sigma }_{\text{c}}(T)$

이 성분들은 각각

• 점 스펙트럼(點spectrum, 틀:Llang) ${\sigma }_{\text{p}}(T)$
• 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 틀:Llang) ${\sigma }_{\text{r}}(T)$
• 연속 스펙트럼(連續spectrum, 틀:Llang) ${\sigma }_{\text{c}}(T)$

이며, 다음과 같다.

어떤 수 $\lambda \in 𝕂$에 대하여 $\lambda \in \sigma (T)$이려면 $T-\lambda$가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.

• $T-\lambda$가 단사 함수가 아니다. 이러한 $\lambda$들의 집합을 점 스펙트럼 ${\sigma }_{\text{p}}(T)$라고 한다. 이 경우 $\lambda$는 $T$의 고윳값이며, $Tv=\lambda v$인 고유 벡터 $v\in V$가 존재한다.
• $T-\lambda$가 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
  • $T-\lambda$는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아니다. 이러한 $\lambda$들의 집합을 잔여 스펙트럼 ${\sigma }_{\text{r}}(T)$라고 한다.
  • $T-\lambda$는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 $\lambda$들의 집합을 연속 스펙트럼 ${\sigma }_{\text{c}}(T)$라고 한다. 이 경우, $(T-\lambda {)}^{-1}:(T-\lambda )(V)\to V$는 $V$의 조밀 집합 $(T-\lambda )(V)$ 위에 정의되는, 비유계 작용소이다.

성질

복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.틀:Rp틀:Rp

증명:

복소수 바나흐 대수 $A$의 원소 $a\in A$가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여 $\sigma (a)=\varnothing$이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간 $A^{\prime }$의 임의의 원소 $f\in A^{\prime }$를 고르자.

그렇다면, 이제 함수

$h:{ℝ}^{+}\to ℂ$

$h:r\mapsto \underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi }}{\int }}f((r\exp (\mathrm{i}\theta )-a{)}^{-1})\mathrm{d}\theta$

를 정의하자. 그렇다면,

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\partial }{\partial r}f((r\exp (\mathrm{i}\theta )-a{)}^{-1})\mathrm{d}\theta \\ & =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(a(r^2\exp (2\mathrm{i}\theta ))\exp (\mathrm{i}\theta )\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{\mathrm{i}r}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(a(r^2\exp (2\mathrm{i}\theta ))\mathrm{i}r\exp (\mathrm{i}\theta )\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{\mathrm{i}r}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\partial }{\partial \theta }f((r\exp (\mathrm{i}\theta )-a{)}^{-1})\mathrm{d}\theta \\ & =0\end{array}$

이다. (이는 피적분 함수가 ${𝒞}^1$이므로 가능하다.) 즉, $h$는 상수 함수이며, 그 값은

$\underset{r\to 0}{\lim }h(r)=-2\pi f(a^{-1})$

이다.

이제, 임의의 $r>\Vert a\Vert$에 대하여

$2\pi |f(a^{-1})|=|h(r)|\le \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f((r\exp (\mathrm{i}\theta )-a{)}^{-1})\mathrm{d}\theta \le 2\pi \frac{\Vert f\Vert }{r-\Vert a\Vert }$

가 되므로, 사실 $f(a^{-1})=0$이어야만 한다. 즉, 임의의 $f\in A^{\prime }$에 대하여 $f(a^{-1})=0$이어야만 한다. 그런데 $a^{-1}\ne 0$이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.

복소수 바나흐 대수 $A$의 원소 $a\in A$의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 겔판트 공식(틀:Llang)에 의하여 주어진다.틀:Rp

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(a)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\Vert a^n\Vert }$

(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$에 대하여, $𝕂$-바나흐 공간 위의 유계 작용소 $T$의 스펙트럼은 항상 $𝕂$ 속의 콤팩트 집합이다.틀:Rp 특히

$|\lambda |\le \Vert T\Vert (\mathrm{\forall }\lambda \in \sigma (T))$

이다. 여기서 $\Vert T\Vert$는 작용소 노름이다.

유한 차원

$V={𝕂}^n$가 유한 차원 $𝕂$-바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, $𝕂$-선형 변환 $V\to V$가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 $𝕂$-바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

특히, 선형 변환 $T:V\to V$(즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.

콤팩트 작용소

복소수 바나흐 공간 $V$ 위의 콤팩트 작용소 $T:V\to V$의 경우, 다음이 성립한다.

• 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 $\{0\}$이다.
• 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 $\{0\}$이다.

즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.

정규 작용소

복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 정규 작용소 $T:V\to V$의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(T)=\underset{v\in V\setminus \{0\}}{\sup }\frac{|⟨v,Tv⟩|}{⟨v,v⟩}$

보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 수치 반지름(數値半지름, 틀:Llang)이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 스펙트럼형 작용소(spectrum型作用素, 틀:Llang)라고 한다.

분해식

$𝕂$-바나흐 대수 $A$의 원소 $a\in A$ 및 $z\in \rho (a)$에 대하여, 만약 $\Vert a\Vert <|z|$라면, 분해식의 다음과 같은 노이만 급수(Neumann級數, 틀:Llang)가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.틀:Rp

$\frac{1}{z-a}=\frac{1}{z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a/z{)}^n$

증명:

위 급수는 당연히 코시 열이며, $A$가 바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다.

예

행렬

실수 행렬

$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

는 ${ℝ}^2$ 위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 ${ℂ}^2$ 위의 작용소로서 점 스펙트럼 $\{\pm \mathrm{i}\}$를 갖는다.

시프트

복소수 힐베르트 공간 $V={\ell }^2(ℂ)$를 생각하자. 그렇다면 사상

$T:(x_1,x_2,\dots )\mapsto (0,x_1,x_2,\dots )$

은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. $T$는 고윳값을 가지지 않지만, $T$는 전사 함수가 아니므로 $T$의 스펙트럼은 $\{0\}$이다. 이 경우, $T$의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.

곱셈

임의의 $1\le p\le \mathrm{\infty }$에 대하여, 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 위의 르베그 공간

$V={\mathrm{L}}^p(X,\mathrm{\Sigma },\mu ;𝕂)$

는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수

$f:(X,\mathrm{\Sigma })\to (𝕂,ℬ(𝕂))$

의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 $N\subseteq X$에 대하여 $f\upharpoonright (X\setminus N)$의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 $ℬ(𝕂)$는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소

$T_f:V\to V$

$T_f:g\mapsto fg$

는 $𝕂$-유계 작용소이다.

이제, 집합

$\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f\subseteq 𝕂$

를 다음과 같이 정의하자.

$\lambda \in \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f\stackrel{\text{def}}{⟺}\mathrm{\forall }ϵ\in {ℝ}^{+}:\mu (f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,ϵ)))>0$

그렇다면, $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f=\sigma (T_f)$이다.

증명 ($\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f\supseteq \sigma (T_f)$):

임의의 $\lambda \in 𝕂\setminus \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f$가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라

$\mu (f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,ϵ)))=0$

인 양의 실수 $ϵ>0$이 존재한다.

그렇다면, 가측 함수

$g:(X,\mathrm{\Sigma })\to (𝕂,ℬ(𝕂))$

$g:x\mapsto \frac{1}{\lambda -f(x)}$

를 생각하자. 그렇다면,

$T_g\circ (\lambda -T_f)=1$

이다. 따라서 $\lambda \in \rho (T_f)$이다.

증명 ($\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f\subseteq \sigma (T_f)$, $p<\mathrm{\infty }$):

임의의 $\lambda \in \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

$g_n=\frac{1}{{\mu \left(f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,1/n))\right)}^{1/p}}{\chi }_{f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,1/n))}\in {\mathrm{L}}^p(X,\mathrm{\Sigma },\mu ;𝕂)(n\in {\mathbb{Z}}^{+})$

을 정의하자. (여기서 $\chi$는 지시 함수이다.)

그렇다면,

${(\Vert (\lambda -T_f)g_n{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p})}^p=\frac{1}{\mu \left(f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,1/n))\right)}\underset{f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,1/n))}{\int }|\lambda -f{|}^p\mathrm{d}\mu \le \frac{1}{n^p}$

이므로, 특히

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert (\lambda -T_f)g_n{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p}=0$

이다. 이에 따라, $\lambda -T_f$의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

증명 ($\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f\subseteq \sigma (T_f)$, $p=\mathrm{\infty }$):

임의의 $\lambda \in \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

$g_n={\chi }_{f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,1/n))}\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}(X,\mathrm{\Sigma },\mu ;𝕂)(n\in {\mathbb{Z}}^{+})$

을 정의하자. (여기서 $\chi$는 지시 함수이다.)

그렇다면,

$\Vert (\lambda -T_f)g_n{\Vert }_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}}=\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(|\lambda -f|\upharpoonright f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,1/n)))\le 1/n$

이므로, 특히

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert (\lambda -T_f)g_n{\Vert }_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}}=0$

이다. 이에 따라, $\lambda -T_f$의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.

임의의 $\lambda \in \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f$에 대하여, 만약 ${\mu }^{-1}(\{\lambda \})>0$이라면, $\lambda \in {\sigma }_{\text{p}}(T_f)$이며, 만약 그렇지 않다면 $\lambda \in {\sigma }_{\text{c}}(T_f)$이다. 특히, $T_f$는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.

증명 ($\mu (f^{-1}(\{\lambda \}))>0⟹\lambda \in {\sigma }_{\text{p}}(T_f)$):

지시 함수 ${\chi }_{f^{-1}(\{\lambda \})}$는 $\lambda$의 고유 벡터이다.

증명 ($\mu (f^{-1}(\{\lambda \}))=0⟹\lambda \in {\sigma }_{\text{c}}(T_f)$):

임의의

$g\in {\mathrm{L}}^p(X,\mathrm{\Sigma },\mu ;𝕂)$

에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.

$h_n=\frac{g}{\lambda -f}{\chi }_{X\setminus f^{-1}({\mathrm{ball}}_{𝕂}(\lambda ,1/n))}(n\in {\mathbb{Z}}^{+})$

여기서 $\chi$는 지시 함수이다.

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라

$(\lambda -T_f)h_n\stackrel{{\mathrm{L}}^p}{\to }g$

이다. 즉, $\lambda -T_f$의 상은 항상 조밀 집합이다.

결합 대수

가환환 $R$를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소 $r\in R$의 스펙트럼은

$\sigma (r)=R\setminus (r+\mathrm{Unit}(R))$

이다. (여기서 $\mathrm{Unit}(R)=\{r\in R:\mathrm{\exists }{r}^{-1}\}$는 가역원군이다.)

사원수 대수 $ℍ$는 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수 $a\in ℍ$의 스펙트럼은 다음과 같다.

$\sigma (a;ℝ)=ℝ\cap \{a\}$

(특히, 만약 $a\in ̸ℝ\subseteq ℍ$이라면 $\sigma (a)=\varnothing$이다.)

마찬가지로, 복소수체 $ℂ$를 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때, $z\in ℂ$의 스펙트럼은 다음과 같다.

$\sigma (z;ℝ)=ℝ\cap \{z\}$

(특히, 만약 $z\in ̸ℝ\subseteq ℍ$이라면 $\sigma (z)=\varnothing$이다.) 물론, $ℂ$를 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때, $\sigma (z;ℂ)=\{z\}$이다.

연속 함수 대수

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 $𝕂$-바나흐 대수 ${𝒞}^0(X,𝕂)$의 원소 $f\in {𝒞}^0(X,𝕂)$의 스펙트럼은 그 상이다.

$\sigma (f)=\{f(x):x\in X\}\subseteq 𝕂$

역사

유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.

"스펙트럼"(틀:Llang)과 "분해식"(틀:Llang)이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.

응용

양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간

$\mathscr{H}={ℒ}^2(ℝ;ℂ)$

위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜

$V:ℝ\to ℝ$

이 주어졌으며,

$\underset{x\in ℝ}{\inf }V(x)>\mathrm{\infty }$

이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자

$H=-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+V(x)$

를 $\mathscr{H}$의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수

$\alpha \in ℂ,\mathrm{\Re }(\alpha )\le 0$

에 대하여 유계 작용소

$\exp (\alpha H):\mathscr{H}\to \mathscr{H}$

를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상

$\sigma (\exp (\alpha H))=\{\exp (\alpha E):E\in ℝ\}$

의 꼴이다. 이에 따라, $E$를 $H$의 스펙트럼으로 여길 수 있다.

$\mathrm{\Re }(\alpha )<0$의 경우, $\exp (\alpha H)$의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.

같이 보기

• 자기 수반 작용소

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용