가측 함수

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 가측 함수(可測函數, 틀:Llang)는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다.

정의

두 가측 공간 $(X,ℱ)$, $(Y,𝒢)$ 사이의 가측 함수 $f:X\to Y$는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

• 모든 $S\in 𝒢$에 대하여, $f^{-1}(S)\in ℱ$

만약 공역이 유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역이 유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수 $ℝ\to ℝ$"는 보통 $(ℝ,ℒ(ℝ))\to (ℝ,ℬ(ℝ))$을 의미한다.

성질

두 가측 함수

$f:(X_1,{ℱ}_1)\to (X_2,{ℱ}_2)$

$g:(X_2,{ℱ}_2)\to (X_3,{ℱ}_3)$

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

$g\circ f:(X_1,{ℱ}_1)\to (X_3,{ℱ}_3)$

역시 가측 함수이다.

보렐 가측 함수

$X$와 $Y$가 보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.

• $X$와 $Y$ 사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다.
• 반대로, 루진의 정리에 따르면, $Y$가 제2 가산 공간이며 $X$에 라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수 $f:X\to Y$는 $X$의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다.

$(X,ℱ)$가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.

• 두 가측 함수 $f,g:(X,ℱ)\to (ℝ,ℬ(ℝ))$에 대하여, $f+g$ 및 $f\cdot g$는 가측 함수이다.
• 가측 함수의 열 $f_1,f_2,\dots :(X,ℱ)\to (ℝ,ℬ(ℝ))$의 점별 극한은 가측 함수이다.
• 모든 르베그 적분 가능 함수 $X\to ℝ$는 가측 함수이다.

르베그 가측 함수

임의의 함수 $f:ℝ\to ℝ$ 및 $g:ℝ\to [0,\mathrm{\infty })$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f:(ℝ,ℒ(ℝ))\to (ℝ,ℬ(ℝ))$는 가측 함수이다.
• 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.

$\mathrm{mid}\{-g,f,g\}:x\mapsto \{\begin{array}{cc}g(x)& f(x)\ge g(x)\\ f(x)& -g(x)\le f(x)\le g(x)\\ -g(x)& f(x)\le -g(x)\end{array}$

바나흐 공간 값 가측 함수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가측 공간 $(X,ℱ)$
• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$
• (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘) $𝕂$-바나흐 공간 $Y$

그렇다면, $X\to Y$ 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 $f:X\to Y$이다.

$f=\sum _{i=1}^k{y}_i{1}_{S_i}$

$y_1,\dots ,y_k\in Y$

$S_1,\dots ,S_k\in ℱ$

$k\in \mathbb{N}$

(여기서 $1_{S_i}$는 지시 함수이다.)

이제, 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자.

• (강가측 함수, 强可測函數, 틀:Llang) 단순 함수의 열의 점별 극한이다.
• (약가측 함수, 弱可測函數, 틀:Llang) 임의의 연속 쌍대 공간 원소 $\varphi \in Y^{*}$에 대하여, $\varphi \circ f:(X,ℬ(X))\to (𝕂,ℬ(𝕂))$는 가측 함수이다.

이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, 페티스 가측성 정리(Pettis可測性定理, 틀:Llang)에 따르면, 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 강가측 함수이다.
• 약가측 함수이며, $f(X)\subset \tilde{Y}$인 분해 가능 부분 공간 $\tilde{Y}\subset Y$가 존재한다.

특히, 만약 $Y$가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, $f:X\to Y$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 강가측 함수이다.
• 가측 함수이다.
• 약가측 함수이다.

가측 공간 $(X,ℱ)$ 및 $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ 및 두 $𝕂$-바나흐 공간 $Y$, $Z$가 주어졌다고 하자. 만약 $f:X\to Y$가 강가측 함수이며, $g:Y\to Z$가 가측 함수라면, $g\circ f$는 강가측 함수이다.틀:Rp

예

정의에 따르면 확률 변수는 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 $A\subset ℝ$가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수 $1_A$는 가측 함수가 아니다.

강가측 함수가 아닌 가측 함수

분해 불가능 $𝕂$-바나흐 공간 $X$ 위의 항등 함수

$f:x\mapsto x$

를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나 $f(X)=X$가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라 $f$는 강가측 함수가 아니다.틀:Rp

가측 함수가 아닌 약가측 함수

실수의 셈측도 공간 $(ℝ,𝒫(ℝ),\mu )$ 위의 르베그 공간 ${\ell }^2(ℝ;𝕂)$를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$f:ℝ\to {\ell }^2(ℝ;𝕂)$

$f(x)(t)=\{\begin{array}{cc}1& t=x\\ 0& t\ne x\end{array}$

그렇다면, $f:(ℝ,ℒ(ℝ))\to ({\ell }^2(ℝ;𝕂),ℬ({\ell }^2(ℝ;𝕂)))$는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의 $x\in ℝ$에 대하여,

$⟨f,f(x)⟩=f(x):(ℝ,ℒ(ℝ))\to (𝕂,ℬ(𝕂))$

는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 $A\subset ℝ$에 대하여,

$B=\bigcup _{x\in A}{\mathrm{ball}}_{{\ell }^2(ℝ;𝕂)}(1,f(x))\subset {\ell }^2(ℝ;𝕂)$

는 열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상

$f^{-1}(B)=A$

는 가측 집합이 아니다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드