자기 수반 작용소

틀:위키데이터 속성 추적 작용소 이론에서 자기 수반 작용소(自己隨伴作用素, 틀:Llang) 또는 자기 수반 연산자는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

$𝕂$-힐베르트 공간 $H$ 위의 조밀 부분 집합 $D\subseteq H$가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환

$A:D\to H$

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을 $D$ 위의 자기 수반 작용소라고 한다.

$A:D\to H$

• 대칭 작용소이며, $\mathrm{dom}A=\mathrm{dom}{A}^{*}$이다.
• 임의의 $x,y\in D$에 대하여, $⟨x|A|y⟩=⟨Ax|y⟩$이다. 또한, 임의의 $x,y\in H$에 대하여, 만약 $⟨x|A=⟨y|:H\to 𝕂$라면, $x\in D$이다.
  • 특히, 임의의 $x\in D$에 대하여, $⟨x|A=⟨Ax|:D\to 𝕂$는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 $H\to 𝕂$로 유일하게 확장된다.
• $\mathrm{dom}A=\mathrm{dom}{A}^{*}$이며, 모든 $u\in \mathrm{dom}A$에 대하여 $Au=A^{*}u$이다. 여기서 $A^{*}:\mathrm{dom}{A}^{*}\to H$는 에르미트 수반이다.
• 그래프 $\mathrm{graph}(A)=\{(x,Ax):x\in H\}\subseteq H\oplus H$ 및 심플렉틱 사상 $J:H\oplus H\to H\oplus H$, $(x,y)\mapsto (-y,x)$에 대하여, $(J\mathrm{graph}A{)}^{\perp }=\mathrm{graph}A$이다.
• 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 $X$과 가측 함수 $f:X\to (ℝ,\mathrm{Borel}(X))$과 전단사 유니터리 작용소 $UH\to {\mathrm{L}}^2(X;𝕂)$가 존재한다. (여기서 $T_f:\mathrm{dom}{T}_f\to {\mathrm{L}}^2(X;𝕂),\varphi \mapsto f\varphi$는 $f$와의 점별 곱셈이다.)
  • $U\mathrm{dom}A=\mathrm{dom}{T}_f$
  • $UA=T_{f}U$

마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자(틀:Llang)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.

성질

단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.틀:Rp

유한 차원 힐베르트 공간 ${ℂ}^n$ 위의 작용소 $A$에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

• $A$는 대칭 작용소이다.
• $A$는 자기 수반 작용소이다.
• $A$의 행렬은 에르미트 행렬이다.

대칭 확장

대칭 작용소 $A:\mathrm{dom}A\to \mathscr{H}$의 자기 수반 확장(틀:Llang)은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 $\tilde{A}:\mathrm{dom}\tilde{A}\to \mathscr{H}$이다.

• $\mathrm{dom}A\subseteq \mathrm{dom}\tilde{A}$
• $\mathrm{\forall }v\in \mathrm{dom}A:Av=\tilde{A}v$

대칭 연산자 $A$의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.틀:Rp

$U:\mathrm{range}(A+i{)}^{\perp }\to \mathrm{range}(A-i{)}^{\perp }$

($\mathrm{range}(A+i{)}^{\perp }$은 $\mathscr{H}$의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.) 특히, $A$가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은

$\dim \mathrm{range}(A+i{)}^{\perp }=\dim \mathrm{range}(A-i{)}^{\perp }$

이다. 양변의 두 수를 $A$의 결점 지표(틀:Llang)라고 한다.

유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 본질적 자기 수반 작용소(틀:Llang)라고 한다.

예

제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간

$H={\mathrm{L}}^2(ℝ;ℂ)$

을 생각하자. 이 위에서, 작용소

$A:f\mapsto (x\mapsto xf(x))$

를 생각하자. 만약 $f$가 제곱 적분 가능 함수라도 $x\mapsto xf(x)$가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, $A$는 $H$ 전체에 정의될 수 없다. 즉,

$\mathrm{dom}A=\{f\in H:(x\mapsto xf(x))\in H\}⊊H$

이다. 이는 $H$의 조밀 부분 공간이며, 임의의 $f,g\in \mathrm{dom}H$에 대하여

$⟨f|A|g⟩=\underset{ℝ}{\int }\overline{f(x)}(xg(x))\mathrm{d}x=\underset{ℝ}{\int }(\overline{xf(x)})g(x)\mathrm{d}x=⟨Af|g⟩$

이다. 따라서 $A$는 대칭 작용소이다. 또한, 임의의 $f,g\in H$에 대하여, 만약

$⟨f|A=⟨g|$

라고 하자. 즉,

$\mathrm{\forall }h\in \mathrm{dom}A:\underset{ℝ}{\int }\overline{f(x)}xh(x)\mathrm{d}x=\int \overline{g(x)}h(x)$

이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서

$g=(x\mapsto xf(x))\in H$

이므로, 정의에 따라 $(x\mapsto xf(x))\in \mathrm{dom}A$이게 된다. 즉, $A$는 자기 수반 작용소이다.

곱셈 연산자

다음이 주어졌다고 하자.

• 측도 공간 $X$
• 가측 함수 $f:X\to (ℝ,\mathrm{Borel}(ℝ))$ ($\mathrm{Borel}(-)$은 보렐 시그마 대수)
• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$

그렇다면, $H={\mathrm{L}}^2(X;𝕂)$ 위에 작용소

$T_f:\varphi \mapsto \varphi f$

를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• ${\mathrm{L}}^2(X;𝕂)$ 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
• 임의의 $𝕂$-힐베르트 공간 $H$ 및 자기 수반 작용소 $A:\mathrm{dom}A\to H$에 대하여, $U\mathrm{dom}A=\mathrm{dom}{T}_f$이자 $UA=T_{f}U$가 되는 측도 공간 $X$와 가측 함수 $f:X\to ℝ$와 (전단사) 유니터리 작용소 $U:H\to {\mathrm{L}}^2(ℝ;𝕂)$가 존재한다.

특히, 만약 $H={𝕂}^n$이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 $n\times n$ 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값

$\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\}$

들은 모두 실수이다. 이 경우

• $X=\{1,2,\dots ,n\}$ (크기 $n$의 이산 가측 공간)
• $\mu (S)=|S|$ (셈측도)
• $f:i\mapsto {\lambda }_i$

가 된다.

같이 보기

• 에르미트 수반
• 정규 작용소

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
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