정규 작용소

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 정규 작용소(正規作用素, 틀:Llang)는 힐베르트 공간 위에서, 스스로의 에르미트 수반과 가환하는 연속 선형작용소이다. 정규 행렬의 개념을 무한 차원으로 일반화시킨 개념이다. 정규작용소들은 잔여 스펙트럼이 존재하지 않아, 이들에 대하여 스펙트럼 정리가 적용된다.

정의

복소수 대합 대수 $A$의 정규원(正規元, 틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 원소 $a\in A$이다.

$a^{*}a=a{a}^{*}$

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 $\mathrm{B}(V,V)$ 속의 정규원을 정규 작용소라고 한다. 즉, 유계 작용소 $T:V\to V$가 $T{T}^{*}=T^{*}T$을 만족시킨다면 $T$를 정규 작용소라고 한다 ($(-{)}^{*}$는 에르미트 수반).

성질

유계 작용소 $T:V\to V$에 대하여, 다음 명제들이 서로 동치이다.

• $T$는 정규 작용소이다.
• $T$의 에르미트 수반 $T^{*}$는 정규 작용소이다.
• 모든 $v\in V$에 대하여 $\Vert Tv\Vert =\Vert T^{*}v\Vert$이다.

정규 작용소 $T$와 그 에르미트 수반 $T^{*}$는 같은 핵과 상을 갖는다.

$\ker T=\ker T^{*}$

$T(V)=T^{*}(V)$

따라서, 정규 작용소 $T$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $T$의 상이 조밀 집합이다.
• $T$가 단사 함수이다.

정규 작용소는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 즉, 오직 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼만을 갖는다.

연산에 대한 닫힘

복소수 힐베르트 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 임의의 정규 작용소 $A:V\to V$ 및 복소수 $\lambda \in ℂ$에 대하여, $\lambda A$ 역시 정규 작용소이다.

두 정규 작용소 $A,B:V\to V$가 주어졌다고 하자. 만약 $[A,B]=0$이라면, 다음이 성립한다.

• $A+B$는 정규 작용소이다.
• (푸글레데 정리 틀:Llang) $AB$ 역시 정규 작용소이다.

그러나 서로 가환하지 않는 두 정규 작용소의 합과 곱은 정규 작용소가 아닐 수 있다.

예

다음과 같은 작용소들은 정규 작용소이다.

• 유니터리 작용소
• 자기 수반 작용소
• 유한 차원 힐베르트 공간 ${ℂ}^n$ 위의 정규 작용소들은 $n\times n$ 정규 행렬들이다.

외부 링크

• 틀:Eom