역함수

함수 $f$와 그 역함수 $f^{-1}$

수학에서 역함수(逆函數, 틀:문화어, 틀:Llang)는 정의역과 치역(함숫값)을 서로 뒤바꾸어 얻는 함수이다. 즉, 역함수의 대응 규칙에서, 원래의 출력값은 원래의 입력값에 대응한다.

정의

함수 $f:X\to Y$가 주어졌을 때, 함수 $g:Y\to X$가 다음 조건을 만족시키면, $f$의 왼쪽 역함수(-逆函數, 틀:Llang)라고 한다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $g(f(x))=x$

마찬가지로, 함수 $h:Y\to X$가 다음 조건을 만족시키면, $f$의 오른쪽 역함수(-逆函數, 틀:Llang)라고 한다.

• 임의의 $y\in Y$에 대하여, $f(h(y))=y$

함수 $f:X\to Y$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$는 $f$의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 $x\in X$ 및 $y\in Y$에 대하여, $y=f(x)$와 $x=f^{-1}(y)$는 서로 필요 충분 조건이다.

역함수를 갖는 함수를 가역 함수(可逆函數, 틀:Llang) 또는 일대일 대응 또는 전단사 함수라고 한다. 전단사 함수가 아닌 함수의 경우에도, 그 함수의 정의역이나 공역을 줄여 전단사 함수가 되게 한 다음 역함수를 정의할 수 있다. 역삼각 함수는 바로 이러한 방법으로 정의된다.

표기

함수 $f$의 역함수는 위 첨자된 "-1"을 사용하여 $f^{-1}$와 같이 표기하며, 역함수 에프 또는 에프 인버스라고 읽는다. 이는 곱셈 이항 연산의 역원의 표기와 같다. 이러한 표기는 거듭제곱의 표기와 혼동할 수 있는데, 이 때문에 역사인 함수는 보통 ${\sin }^{-1}x$ 대신 새로운 표기인 $\arcsin x$를 사용하여 표기한다.

성질

• 모든 함수가 역함수를 가질 필요는 없다. 역함수를 가질 필요충분조건은 전단사 함수이다.
• 전단사 함수의 역함수는 항상 유일하다. 이는 표기 $f^{-1}$를 사용할 수 있는 이유이다.
• 전단사 함수의 역함수의 정의역은 원래 함수의 공역 및 치역과 같으며, 역함수의 공역 및 치역은 원래 함수의 정의역과 같다. 즉, 전단사 함수 $f$에 대하여, 다음이 성립한다.

  $\mathrm{dom}{f}^{-1}=\mathrm{codom}f=\mathrm{ran}f$

  $\mathrm{codom}{f}^{-1}=\mathrm{ran}{f}^{-1}=\mathrm{dom}f$

• 전단사 함수의 역함수 역시 전단사 함수이며, 역함수의 역함수는 원래 함수 자기 자신이다. 즉, 전단사 함수 $f$에 대하여, 다음이 성립한다.

  $(f^{-1}{)}^{-1}=f$

• 전단사 함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$의 정의를 다시 쓰면 다음과 같다.

  $f^{-1}(f(x))=x(\mathrm{\forall }x\in X)$

  $f(f^{-1}(y))=y(\mathrm{\forall }y\in Y)$

• 전단사 함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$의 정의의 다른 한 가지 서술은 다음과 같다. (여기서 $\circ$는 함수의 합성의 기호이다.)

  $f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_{\mathrm{dom}f}$

  $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_{\mathrm{codom}f}$

• 함수의 합성의 역함수에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다. 전단사 함수 $f,g$에 대하여,

  $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

이는 역함수의 정의에 따라 쉽게 보일 수 있다. 또한, 이를 양말을 신은 뒤 신발을 신은 일을 취소하려면 신발을 벗은 뒤 양말을 벗어야 한다는 사실에 비유할 수 있다.

• (역함수 정리) 역함수의 미분은 $(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$이다.

같이 보기

• 위상 동형

외부 링크

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