지배 수렴 정리

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 지배 수렴 정리(支配收斂定理, 틀:Llang, 약자 DCT)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.

정의

확장 지배 수렴 정리

측도 공간 $(X,𝒮,\mu )$ 위의 가측 함수의 열 $f_n:X\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ ($n\in \mathbb{N}$) 및 함수 $f:X\to ℝ$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열 $g_n:X\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ ($n\in \mathbb{N}$) 및 가측 함수 $g:X\to (ℝ,ℬ(ℝ))$가 존재한다고 하자.

• 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
  • (점별 수렴) $f_n$은 $f$로 점별 수렴하며, $g_n$은 $g$로 점별 수렴한다.
  • (거의 어디서나 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_n$은 $f$로 거의 어디서나 수렴하며, $g_n$은 $g$로 거의 어디서나 수렴한다.
  • (측도 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_n$은 $f$로 측도 수렴하며, $g_n$은 $g$로 측도 수렴한다.
• (적분 가능성) $\underset{X}{\int }|g|\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|g_n|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$
• (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 거의 어디서나 $|f_n|\le g_n$

그렇다면, 확장 지배 수렴 정리(擴張支配收斂定理, 틀:Llang, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.틀:Rp

• (적분 가능성) $\underset{X}{\int }|f|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$
• (L¹ 수렴) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0$
• (적분과 극한의 교환) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu$

사실, 이 경우 셰페 정리(틀:Llang)에 따라 $g_n$ 역시 $g$로 L¹ 수렴한다. 틀:증명 가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다.

적분 가능성: 가정에 따라 $f$와 $g$는 가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라

$\underset{X}{\int }|f|\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{X}{\int }|f_n|\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{X}{\int }|g_n|\mathrm{d}\mu =\underset{X}{\int }|g|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$

이다.

L¹ 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나

$|f_n-f|\le |f_n|+|f|\le g_n+g$

이므로, $g_n+g-|f_n-f|$는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면

$\begin{array}{cc}\underset{X}{\int }2g\mathrm{d}\mu & \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{X}{\int }(g_n+g-|f_n-f|)\mathrm{d}\mu \\ & =\underset{X}{\int }2g\mathrm{d}\mu -\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{X}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mu \end{array}$

를 얻는다.

적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\underset{X}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu -\underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu |\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0$

이다. 틀:증명 끝 틀:증명 측도 수렴 가정에 따라, 임의의 부분열 $f_{n_k}$ ($k\in \mathbb{N}$)에 대하여, 각각 $f$, $g$로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 $f_{n_{k_j}}$, $g_{n_{k_j}}$가 존재한다. 거의 어디서나 수렴에 대한 확장 지배 수렴 정리에 따라

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_{n_{k_j}}-f|\mathrm{d}\mu =0$

이다. 이에 따라

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0$

이다. 틀:증명 끝

지배 수렴 정리

측도 공간 $(X,𝒮,\mu )$ 위의 가측 함수의 열 $f_n:X\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ ($n\in \mathbb{N}$) 및 함수 $f:X\to ℝ$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수 $g:X\to (ℝ,ℬ(ℝ))$가 존재한다고 하자.

• 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
  • (점별 수렴) $f_n$은 $f$로 점별 수렴한다.
  • (거의 어디서나 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_n$은 $f$로 거의 어디서나 수렴한다.
  • (측도 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_n$은 $f$로 측도 수렴한다.
• (적분 가능성) $\underset{X}{\int }|g|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$
• (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 거의 어디서나 $|f_n|\le g$

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따르면 다음 조건들이 성립한다.틀:Rp틀:Rp

• (적분 가능성) $\underset{X}{\int }|f|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$
• (L¹ 수렴) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0$
• (적분과 극한의 교환) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu$

틀:증명 확장 지배 수렴 정리에서 $g_n=g$를 취한다. 틀:증명 끝

유계 수렴 정리

유한 측도 공간 $(X,𝒮,\mu )$ ($\mu (X)<\mathrm{\infty }$) 위의 가측 함수의 열 $f_n:X\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ ($n\in \mathbb{N}$) 및 함수 $f:X\to ℝ$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
  • (점별 수렴) $f_n$은 $f$로 점별 수렴한다.
  • (거의 어디서나 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_n$은 $f$로 거의 어디서나 수렴한다.
  • (측도 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_n$은 $f$로 측도 수렴한다.
• $\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert f_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }$

그렇다면, 유계 수렴 정리(有界收斂定理, 틀:Llang, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.틀:Rp

• (적분 가능성) $\underset{X}{\int }|f|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$
• (L¹ 수렴) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0$
• (적분과 극한의 교환) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu$

틀:증명 지배 수렴 정리에서

$g:x\mapsto \underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert f_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

를 취한다. 틀:증명 끝

역사

역사적으로, 앙리 르베그는 르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.틀:Rp

구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.틀:Rp

• 어떤 함수 f가 실수 상의 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라면, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a).$

이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.

같이 보기

• 확률 변수의 수렴
• 단조 수렴 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki