콤팩트 작용소

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 콤팩트 작용소(compact作用素, 틀:Llang)는 유계 집합의 상이 상대 콤팩트 집합인 바나흐 공간 사이의 선형 변환이다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$라고 하자. 두 $𝕂$-바나흐 공간 $V$와 $W$ 사이의 $𝕂$-유계 작용소 $T:V\to W$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $𝕂$-선형 변환을 콤팩트 작용소라고 한다.틀:Rp틀:Rp

• $V$ 속의 단위 닫힌 공 $\mathrm{cl}({\mathrm{ball}}_V(0,1))$의 상 $T\mathrm{cl}({\mathrm{ball}}_V(0,1))$가 $W$의 상대 콤팩트 집합이다.
• $V$ 속의 임의의 유계 집합 $B\subseteq V$의 상 $TB\subseteq W$가 $W$의 상대 콤팩트 집합이다.
• $V$ 속의 임의의 유계 집합 $B\subseteq V$의 상 $TB\subseteq W$가 $W$의 완전 유계 집합이다.

힐베르트 공간의 경우

만약 $V$와 $W$가 $𝕂$-힐베르트 공간이라면, 그 사이의 $𝕂$-선형 변환 $T:V\to W$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

• 콤팩트 작용소이다.
• 치역이 유한 차원 공간인 $𝕂$-선형 변환들의 집합을 $\mathrm{FR}(V,W;𝕂)\subseteq \mathrm{B}(V,W;𝕂)$라고 할 때, $\mathrm{FR}(V,W;𝕂)$의 폐포에 속한다. (여기서 $\mathrm{B}(V,W;𝕂)$는 유계 작용소의 공간이며, 폐포는 작용소 노름으로 정의된 거리 위상에서 취한 것이다.)
• 다음과 같은 꼴의 표현을 갖는다.

  $T=\sum _{0\le i<N}{w}_i{s}_i⟨v_i,-⟩$

여기서

• $N\in \{0,1,2,\dots ,\mathrm{\infty }\}$이다.
• $(s_i{)}_{0\le i<N}$는 감소하는 양의 실수열이다. 즉, $s_1\ge s_2\ge s_3\ge \cdots$이며, 임의의 $0\le i<N$에 대하여 $s_i>0$이다.
• $(v_i{)}_{0\le i<N}$는 $V$ 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 $0\le i\le j<N$에 대하여 $⟨v_i,v_j{⟩}_V={\delta }_{ij}$이다 (${\delta }_{ij}$는 크로네커 델타).
• $(w_i{)}_{0\le i<N}$는 $W$ 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 $0\le i\le j<N$에 대하여 $⟨w_i,w_j{⟩}_W={\delta }_{ij}$이다 (${\delta }_{ij}$는 크로네커 델타).

이러한 표현을 $T$의 특잇값 분해라고 한다.

성질

포함 관계

모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이다.

두 $𝕂$-힐베르트 공간 사이의 경우, 두 $𝕂$-힐베르트 공간 사이의 $𝕂$-선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소

또한, 임의의 $0<p<\mathrm{\infty }$에 대하여, 두 $𝕂$-힐베르트 공간 사이의 $p$차 핵작용소는 콤팩트 작용소이다. (1차 핵작용소는 대각합류 작용소이며, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소이다.)

스펙트럼 이론

복소수 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소의 경우, 다음과 같은 매우 깔끔한 스펙트럼 이론이 존재한다.

임의의 복소수 바나흐 공간 $V$ 위의 복소수 콤팩트 작용소

$T:V\to V$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 $\sigma (T)\subseteq ℂ$를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• (프레드홀름 양도 논법 Fredholm 兩刀論法, 틀:Llang) 스펙트럼의 모든 0이 아닌 원소는 고윳값이다. 즉, 임의의 $\lambda \in \sigma (T)\setminus \{0\}$는 $T$의 고윳값이다.틀:Rp
• 만약 $V$가 무한 차원 바나흐 공간이라면, 항상 $0\in \sigma (T)$이다.
• 스펙트럼의 임의의 0이 아닌 원소 $\lambda \in \sigma (T)\setminus \{0\}$ 및 충분히 큰 양의 정수 $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $\ker (\lambda -T{)}^m=\ker (\lambda -T{)}^{m+1}$이며, 또한 이 부분 벡터 공간은 유한 차원이다.
• $T$의 고윳값들의 집합의 ${\mathrm{\aleph }}_0$-집적점은 (만약 존재한다면) $0\in ℂ$ 밖에 없다.
• $\sigma (T)\subseteq ℂ$는 가산 집합이다.

위 성질 가운데 "프레드홀름 양도 논법"이라는 이름은 이를 다음과 같이 적을 수 있기 때문이다.

임의의 0이 아닌 복소수 $\lambda \in ℂ\setminus \{0\}$에 대하여, 다음 둘 ("양도") 가운데 정확히 하나가 성립한다.

• 스펙트럼에 속하지 않는다.
• 고윳값이다.

역사

프레드홀름 양도 논법은 에리크 이바르 프레드홀름이 원래 적분 변환 연산자에 대하여 1903년에 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
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