분리합집합

수학에서 분리 합집합(分離合集合, 틀:Llang) 또는 서로소 합집합(-素合集合)은 원소들에게 그들이 속하던 집합에 대한 첨수를 추가하도록 변형된 합집합이다. 서로소인 집합들의 경우, 분리 합집합은 원래의 합집합과 동등하다.

정의

두 집합 $A$와 $B$의 분리 합집합 $A\bigsqcup B$은 다음과 같은, 두 곱집합의 합집합이다.

$A\bigsqcup B=(A\times \{0\})\cup (B\times \{1\})$

보다 일반적으로, 집합들의 집합 $\{A_i{\}}_{i\in I}$의 원소들의 분리 합집합 $\underset{i\in I}{⨆}{A}_i$은 다음과 같은 집합이다.

$\underset{i\in I}{⨆}{A}_i=\bigcup _{i\in I}(A_i\times \{i\})$

분리합집합의 원소 $(a,i)$ 속의 $i$는, $a$가 어디에 속하던 원소인지 알려준다. 이에 따라, $\{A_i{\}}_{i\in I}$가 서로소 집합족이거나 아니거나, $\{A_i\times \{i\}{\}}_{i\in I}$는 서로소 집합족이다.

성질

임의의 $A_i$는 자연스럽게 $\underset{i\in I}{⨆}{A}_i$로 매장된다.

$\iota :A_i\hookrightarrow \underset{i\in I}{⨆}{A}_i$

$\iota :a\mapsto (a,i)$

집합들의 분리 합집합의 크기는, 그 집합들의 크기의 합이다. 즉,

$\left|\underset{i\in I}{⨆}{A}_i\right|=\sum _{i\in I}|A_i|$

예

두 집합

$A=\{a,b\}$

$B=\{b,c,d\}$

의 분리 합집합은

$A\bigsqcup B=\{(a,0),(b,0),(b,1),(c,1),(d,1)\}$

이며, 그 크기는 5이다.