힐베르트 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서, 힐베르트 다양체(Hilbert多樣體, 틀:Llang)는 국소적으로 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간이다.

정의

힐베르트 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 분해 가능 하우스도르프 공간 $X$
• 분해 가능 무한 차원 실수 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$
• 열린 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}\subseteq \mathrm{Open}(X)$
• 각 $i\in I$에 대하여, 단사 연속 함수 ${\varphi }_i:U_i\to \mathscr{H}$. 또한, 이는 $U_i$와 ${\varphi }_i(U_i)$ 사이의 위상 동형을 정의한다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i,j\in I$에 대하여, 만약 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$이라면, ${\varphi }_j\circ {\varphi }_i^{-1}:{\varphi }_i^{-1}(U_i\cap U_j)\to \mathscr{H}$는 매끄러운 함수이다.

여기서, 함수 $f:U\to \mathscr{H}$, $U\subseteq \mathscr{H}$가 ‘매끄러운 함수’라는 것은 임의의 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여

$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+D_1(\mathrm{\Delta }x)+D_2(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }x)+\cdots +D_k(\mathrm{\Delta }x,\dots ,\mathrm{\Delta }x)+o(\Vert \mathrm{\Delta }x{\Vert }^k)$

가 되는 유계 작용소들

$D_i:{\mathscr{H}}^{\oplus i}\to \mathscr{H}(1\le i\le k)$

이 존재함을 뜻한다.

분류

모든 위상 힐베르트 공간 위에는 유일한 매끄러움 구조가 존재한다. 즉, 주어진 위상 공간 위의 매끄러운 힐베르트 공간 구조는 만약 존재한다면 유일하다.

두 힐베르트 다양체 $X$, $Y$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 서로 호모토피 동치이다.
• 위상 동형이다.
• 미분 동형이다.

또한, 두 힐베르트 다양체 사이의 임의의 위상 동형은 (위상 동형을 통하여) 미분 동형과 아이소토픽하다. 서로 호모토픽한 두 위상 동형은 아이소토픽하다.

임의의 힐베르트 다양체 $X$는 $\mathscr{H}$의 열린집합과 미분 동형이다.

예

분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간의 임의의 열린집합 $U$는 힐베르트 다양체이다.

사상 공간

다음이 주어졌다고 하자.

• (유한 차원) 콤팩트 리만 다양체 $M$
• (유한 차원) 매끄러운 다양체 $N$

이제, 소볼레프 공간 ${\mathrm{W}}^{n,2}(M,N)$을 생각하자. 즉, 그 원소의 $n$차 미분의 L² 노름이 유한하다고 하자. 만약

$2n>\dim M$

이라면, 이는 (매끄러운) 힐베르트 다양체를 이룬다.틀:Rp

특히, 이 경우 만약 매끄러운 함수 $f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,N)$에 대하여 $f$의 접공간은 표준적으로 힐베르트 공간인 소볼레프 공간

${\mathrm{W}}^{n,2}(f^{*}\mathrm{T}N)$

이다.

예를 들어, $M={𝕊}^1$이 원이라고 하자. 그렇다면, 힐베르트 다양체를 이루는 고리 공간

${\mathrm{W}}^{1,2}({𝕊}^1,N)$

을 생각할 수 있다. 이 경우, 소볼레프 조건은 고리 $\gamma :{𝕊}^1\to N$의 에너지

$\frac{1}{2}\oint {\dot{\gamma }}^2\mathrm{d}t$

가 유한함을 뜻한다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용