A∞-오퍼라드

틀:위키데이터 속성 추적 오퍼라드 이론에서 A_∞-오퍼라드(틀:Llang)는 호모토피를 무시한다면 결합 법칙이 성립하는 대수들을 나타내는 오퍼라드이다.

정의

위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드 $A$ 에 대하여, 만약 $A (n)$ 이 (이산 공간의 위상을 준) 대칭군 $Sym (n)$ 과 호모토피 동치이며, 또한 $A (n)$ 위의 대칭군 $Sym (n)$ 의 작용이 군 위의 스스로의 작용과 같다면, $A$ 를 A_∞-오퍼라드라고 한다.

A_∞-대수

A_∞-오퍼라드를 벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현하면, A_∞-대수를 얻는다. A_∞-대수 $A$ 는 다음과 같이 정수 등급을 갖는 벡터 공간이며,

A = ⨁_{p \in ℤ} A^{p}

다음과 같은 무한한 수의 연산들을 갖는다. 모든 $n \geq 1$ 에 대하여, $n$ 항 $n$ 겹선형 연산

m_{n} : A^{\oplus n} \to A

\deg m_{n} = 2 - n

이 존재한다.

이들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든 $n \geq 1$ 에 대하여 다음이 성립한다.

\sum_{r + s + t = n} (- 1)^{r + s t} m_{r + 1 + t} (a_{1}, \dots, a_{r}, m_{s} (b_{1}, \dots, b_{s}), c_{1}, \dots, c_{t}) = 0 \forall a_{i}, b_{i}, c_{i} \in A

처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서 $m_{1} = δ$ , $m_{2} = \cdot$ 으로 쓰자.

(공경계의 멱영성) $δ^{2} = 0$
(곱 규칙) $δ (a b) = (δ a) b + a (δ b)$
(호모토피 결합 법칙) $a (b c) - (a b) c = δ m_{3} (a, b, c) + m_{3} (δ a, b, c) + m_{3} (a, δ b, c) + m_{3} (a, b, δ c)$
$m_{3} (a b, c, d) - m_{3} (a, b c, d) + m_{3} (a, b, c d) - m_{3} (a, b, c) d - a m_{3} (b, c, d) = - δ m_{4} (a, b, c, d) + m_{4} (δ a, b, c, d) + m_{4} (a, δ b, c, d) + m_{4} (a, b, δ c, d) + m_{4} (a, b, c, δ d)$
$⋮$

따라서, $(A, δ)$ 는 공사슬 복합체를 이룬다.

두 A_∞-대수 $A$ , $B$ 사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

각 $n \geq 1$ 에 대하여, 차수 $1 - n$ 인 겹선형 사상 $f_{n} : A^{\otimes n} \to B$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 $n \geq 1$ 에 대하여,

\sum_{r + s + t = n} (- 1)^{r + s t} f_{r + 1 + t} (a_{1}, \dots, a_{r}, m_{s} (a_{r + 1}, \dots, a_{r + s}), a_{r + s + 1}, \dots, a_{n}) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i_{1} + \dots + i_{k} = n} (- 1)^{\sum_{ℓ = 1}^{k} (k - ℓ) (i_{ℓ} - 1)} m_{r} (f_{i_{1}} (a_{1}, \dots, a_{i_{1}}, f_{2} (\dots), \dots, f_{i_{k}} (\dots, a_{n}))

구체적으로, 처음 몇 $n$ 에 대하여 이 조건은 다음과 같다.

f_{1} \circ δ = δ \circ f_{1}

f_{1} (a \cdot b) = f_{1} (a) \cdot f_{1} (b) + δ f_{2} (a, b) + f_{2} (δ a, b) + f_{2} (a, δ b)

⋮

A_∞-대수 $A$ 의 코호몰로지 $H^{∙} (A)$ 를 취하자. 그렇다면, $H^{∙} (A)$ 위에도 자연스러운 A_∞-대수의 구조가 존재하며, 이 경우 $m_{1} = 0$ 이 된다.

예

결합 오퍼라드는 $A (n) = Sym (n)$ 인 오퍼라드이다. 즉, 결합 법칙이 (호모토피를 무시하지 않아도) 정확하게 성립하는 대수를 나타낸다.

작은 구간 오퍼라드(틀:Llang)의 경우, $A (n)$ 은 단위 구간 $(0, 1)$ 속에 존재하는 $n$ 개의 서로소 열린 구간들의 공간이다.

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참고 문헌

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A_∞-대수

예

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