현수 (위상수학)

원(파란색)의 현수(검은색)는 구와 위상동형이다: $\mathrm{S}{𝕊}^1\cong {𝕊}^2$.

대수적 위상수학에서, 위상 공간의 현수(懸垂, 틀:Llang)는 그 위상 공간에 단위 폐구간을 곱해, 양 끝을 각각 한 점으로 치환한 몫공간이다. 관련된 개념으로, 축소 현수(縮小懸垂, 틀:Llang)는 현수보다 더 많은 점들을 동일화시킨 몫공간이다.

호몰로지와 호모토피 군 등 대수적 위상수학에서 쓰이는 개념들은 (축소) 현수에 대하여 자연스러운 성질들을 보인다.

정의

현수

$X$가 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$의 현수 $\mathrm{S}X$는 다음과 같은 몫공간이다.

$\mathrm{S}X=(X\times [0,1]/(X\times \{0\}))/(X\times \{1\})$

여기서 $[0,1]\subset ℝ$은 표준적인 위상이 주어진 단위 폐구간이다. 즉, 곱공간 $X\times [0,1]$에서 양 끝 $X\times \{0\},X\times \{1\}\subset X\times [0,1]$을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 만약 연속함수 $f:X\to Y$가 존재한다면, 마찬가지로 자연스럽게 그 정의역과 공역의 현수들 사이의 연속함수

$\mathrm{S}f:\mathrm{S}X\to \mathrm{S}Y$

$\mathrm{S}f:(x,r)\in \mathrm{S}X\mapsto (f(x),r)\in \mathrm{S}Y$

가 존재한다. 이에 따라, 현수는 위상 공간들과 연속 함수들의 범주 $\mathrm{Top}$의 자기 함자

$\mathrm{S}:\mathrm{Top}\to \mathrm{Top}$

를 이룬다.

축소 현수

$(X,x_0)$가 점을 가진 공간이라고 하자. 그 축소 현수 $\mathrm{\Sigma }X$는 다음과 같은 몫공간이다.

$\mathrm{\Sigma }X=X\wedge {𝕊}^1=X\times {𝕊}^1/(X\vee {𝕊}^1)=X\times [0,1]/(X\times \{0,1\}\cup \{x_0\}\times [0,1])$

여기서 $\wedge$는 분쇄곱이고, $\vee$는 쐐기합이며, ${𝕊}^1$은 원이다. 점을 가진 공간의 축소 현수는 자연스러운 밑점 $X\vee {𝕊}^1\subset \mathrm{\Sigma }X$을 가진다.

현수와 마찬가지로, 밑점을 보존시키는 연속함수 $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$가 주어지면, 밑점을 보존시키는 연속함수

$\mathrm{\Sigma }f:\mathrm{\Sigma }X\to \mathrm{\Sigma }Y$

가 존재한다. 이에 따라, 축소 현수는 점을 가진 공간들과 점을 보존시키는 연속 함수들의 범주 ${\mathrm{Top}}_{\bullet }$의 자기 함자

$\mathrm{\Sigma }:{\mathrm{Top}}_{\bullet }\to {\mathrm{Top}}_{\bullet }$

를 이룬다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 고리 공간 함자 $\mathrm{\Omega }X$이다.

성질

CW 복합체 $X$의 경우, 현수와 축소 현수는 서로 호모토피 동치이다.

$\mathrm{S}X\simeq \mathrm{\Sigma }X$

$X$가 점을 갖는 CW 복합체이며, $n$차 이하 호모토피 군이 자명하다고 하자. 그렇다면 함수

$X\to \mathrm{\Omega }(\mathrm{\Sigma }X)$

로 인하여, 호모토피 군의 준동형

${\pi }_{\bullet }(X)\to {\pi }_{\bullet }(\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Sigma }X))\cong {\pi }_{\bullet +1}(\mathrm{\Sigma }X)$

이 존재한다. 프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 이 준동형 사상은 $\bullet \le 2n$일 경우는 동형이며, $\bullet =2n+1$일 경우는 전사이다.

프로이덴탈 현수 정리에 따라서, 만약 $X$가 n-연결 공간일 경우, ${\mathrm{\Sigma }}^{k}X$는 $(n+k)$-연결 공간이다. 이에 따라, 충분히 많은 현수를 취한다면, 프로이덴탈 현수 정리의 호모토피 군 준동형들이 동형이 된다. $X$의 $\bullet$차 안정 호모토피 군(틀:Llang)은 충분히 큰 $k$에 대한

${\pi }_{\bullet +k}({\mathrm{\Sigma }}^{k}X)$

이다.

예

$n$차원 초구의 현수는 $n+1$차원 초구와 위상 동형이며, 축소 현수는 이와 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아니다.

$\mathrm{\Sigma }{𝕊}^n\simeq \mathrm{S}{𝕊}^n\cong {𝕊}^{n+1}$

역사

프로이덴탈 현수 정리는 1928년에 한스 프로이덴탈이 증명하였다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

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같이 보기

• 고리 공간
• 안정 호모토피 이론