절대 갈루아 군

실수의 절대 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(ℂ/ℝ)$은 2차 순환군이다. 이는 $ℂ$가 $ℝ$의 분해 가능 폐포이며, 차수가 2이기 때문이다.

대수적 수론 및 체론에서, 절대 갈루아 군(絶對Galois群, 틀:Llang)은 주어진 체의 최대 갈루아 확대의 갈루아 군이다. 분해 가능 폐포 $K^{\mathrm{sep}}$의 선택에 의존하지만, 이는 체의 확대의 동형 아래 유일하므로, 절대 갈루아 군은 “내부 자기 동형” 아래 유일하다. 또한, 절대 갈루아 군의 군 코호몰로지는 분해 가능 폐포의 선택에 의존하지 않는다. 완전 비분해 확대의 자기 동형군은 자명하므로, 절대 갈루아 군은 대수적 폐포 $\overline{K}$의 자기 동형군과 동형이지만, 대수적 폐포는 갈루아 확대가 아닐 수 있다.

대역체의 절대 갈루아 군의 구조에 대한 완전한 이해는 요원하며, 이는 대수적 수론 및 산술 기하학의 주요 목표 가운데 하나다.

정의

임의의 체 $K$가 주어졌을 때, 그 분해 가능 폐포 $K^{\mathrm{sep}}$는 $K$의 갈루아 확대를 이룬다. ($K$가 완전체일 때, $K^{\mathrm{sep}}$는 대수적 폐포 $\overline{K}$와 같다. 이는 예를 들어 표수 0의 체나 유한체에 대하여 성립한다.) 그 갈루아 군

$\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$

(즉, $K$ 위에서 항등인 $K^{\mathrm{sep}}$의 자기 동형 사상들이 함수의 합성에 따라 이루는 군)을 $K$의 절대 갈루아 군이라고 한다.

체 $K$의 절대 갈루아 군은 $K^{\mathrm{sep}}$의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, $L/K$와 $\sigma (L)/\sigma (K)$가 분해 가능 폐포이며,

$\sigma \in \mathrm{Isom}(L/K,\sigma (L)/\sigma (K))$

가 그 사이의 $K$-대수 동형일 때,

$\mathrm{Gal}(\sigma (L)/\sigma (K))=\sigma \circ \mathrm{Gal}(L/K)\circ {\sigma }^{-1}$

이다.

성질

노이키르히-우치다 정리

노이키르히-우치다 정리(틀:Llang)에 따르면, 임의의 두 대수적 수체 $K_1$, $K_2$ 및 절대 갈루아 군 사이의 위상군 동형 사상

$\varphi :\mathrm{Gal}({\overline{K}}_1/K_1)\stackrel{\cong }{\to }\mathrm{Gal}({\overline{K}}_2/K_2)$

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 체 동형 사상 $\sigma :{\overline{K}}_1\stackrel{\cong }{\to }{\overline{K}}_2$가 존재한다.

$\sigma (K_1)=K_2$

$\varphi (g)=\sigma \circ g\circ {\sigma }^{-1}\mathrm{\forall }g\in \mathrm{Gal}({\overline{K}}_1/K_1)$

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccc}{K}_1& \hookrightarrow & \overline{K_1}& \underset{\cong }{\overset{g}{\to }}& \overline{K_1}\\ \sigma {|}_{K_1}\downarrow & & \downarrow \sigma & & \downarrow \sigma \\ K_2& \hookrightarrow & \overline{K_2}& \underset{\varphi (g)}{\overset{\cong }{\to }}& \overline{K_2}\end{array}$

특히, 임의의 두 대수적 수체 $K_1$, $K_2$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mathrm{Gal}(\overline{K_1}/K_1)\cong \mathrm{Gal}(\overline{K_2}/K_2)$
• $K_1\cong K_2$

역문제

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이지만,틀:Rp 모든 사유한군이 어떤 절대 갈루아 군과 동형이지는 않다. 예를 들어, 아르틴-슈라이어 정리에 따르면, 유한 절대 갈루아 군은 자명군이거나 2차 순환군이다.

모든 사영 사유한군은 어떤 유사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군과 동형이다. 이 결과는 알렉산데르 루보츠키(틀:Llang)와 라우 판덴드리스(틀:Llang)가 증명하였다.틀:Rp

예

대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명군이다.

실수체의 절대 갈루아 군

$\mathrm{Gal}(ℂ/ℝ)\cong \mathbb{Z}/2$

은 2차 순환군이며, 이는 항등 함수와 복소켤레로 이루어진다.

유한체

임의의 유한체 ${𝔽}_q$의 절대 갈루아 군은 정수환의 사유한 완비화와 동형이다.

$\mathrm{Gal}(\overline{{𝔽}_q}/{𝔽}_q)\cong \hat{\mathbb{Z}}=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \prod _p{\mathbb{Z}}_p$

또한, 프로베니우스 사상

${\mathrm{Frob}}_{{𝔽}_q}\in \mathrm{Gal}(\overline{{𝔽}_q}/{𝔽}_q)$

${\mathrm{Frob}}_{{𝔽}_q}:x\mapsto x^q$

은 그 위상 생성원(틀:Llang)을 이룬다 (즉, 이를 생성원으로 하는 순환군은 절대 갈루아 군의 조밀 부분군이다).

유리수체와 샤파레비치 추측

유리수체의 절대 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$의 구조는 알려지지 않았다. 예를 들어, 유리수체의 최대 아벨 확대 ${\mathbb{Q}}^{\mathrm{ab}}=\mathbb{Q}(\mu )$의 절대 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/{\mathbb{Q}}^{\mathrm{ab}})$이 가산 계수 자유 사유한군인지 여부는 알려지지 않았다. 이를 샤파레비치 추측(Шафаре́вич推測, 틀:Llang)이라고 하며, 이고리 샤파레비치가 추측하였다.틀:Rp틀:Rp 만약 샤파레비치 추측이 참이라면, ${\mathbb{Q}}^{\mathrm{ab}}$의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. (이는 유한 부분 확대의 절대 갈루아 군은 유한 지표 닫힌 부분군이며, 위상군의 유한 지표 닫힌 부분군은 항상 열린 부분군이며, 자유 사유한군의 열린 부분군은 항상 자유 사유한군이기 때문이다.)

$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$에 대하여, 다음과 같은 성질들이 성립한다.

• 벨리 정리에 따라, $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$는 데생당팡들 위에서 충실하게 작용한다.
• $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$는 그로텐디크-타이히뮐러 군(틀:Llang)의 부분군과 동형이다.

유리 함수체

임의의 대수적으로 닫힌 체 $K$의 유리 함수체 $K(t)$의 절대 갈루아 군은 계수 $|K|$의 자유 사유한군이며, 따라서 $K(t)$의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. 이는 아드리앙 두아디(틀:Llang)가 리만 존재 정리를 사용하여 표수 0에 대하여 증명하였다. 일반적인 경우는 데이비드 하베터(틀:Llang)와 플로리안 포프(틀:Llang)가 증명하였으며, Dan Haran과 Moshe Jarden이 대수적으로 재증명하였다.

특히, 대역 함수체에 대한 샤파레비치 추측(대역 함수체 $K$의 모든 원분체들의 합성체 $K(\mu )$의 절대 갈루아 군은 자유 사유한군)은 참이다.

p진 국소체

$K$가 p진수체 ${\mathbb{Q}}_p$의 유한 확대라고 하자. 만약 $p\ne 2$라면, $K$의 절대 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$는 위상 유한 표시 사유한군이며, $[𝕂:{\mathbb{Q}}_p]+3$개의 위상 생성원 및 2개의 관계에 의한 표시를 갖는다. 이는 우베 얀센(틀:Llang)과 카이 빙베르크(틀:Llang)가 증명하였다.틀:Rp틀:Rp $p=2$인 경우는 완전한 묘사가 알려져 있지 않다.틀:Rp틀:Rp

기타

유리수체의 대수적 폐포 $\overline{\mathbb{Q}}$의 최대 전실(틀:Llang) 부분체의 절대 갈루아 군 역시 완전히 묘사되었다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki

같이 보기

• 유체론