원분체

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 수론에서 원분체(圓分體, 틀:Llang)는 유리수체에 1의 거듭제곱근을 첨가하여 얻는 대수적 수체이다.

정의

$n\ge 3$이 3 이상의 정수이며, $n\equiv ̸2(\mathrm{mod}4)$라고 하자. n차 원분체는 ${\zeta }_n^n=1$을 만족시키는 원소 ${\zeta }_n$을 첨가한, 유리수체의 확대 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$이다.

성질

원분체 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$는 갈루아 확대이며, 차수는 오일러 피 함수에 의하여 주어진다.

$[\mathbb{Q}({\zeta }_n):\mathbb{Q}]=\varphi (n)$

원분체의 갈루아 군은 $\mathbb{Z}/(n)$의 가역원군

$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/(n){)}^{\times }$

이며, 이 동형은 구체적으로

$[k]:\sum _{i=0}^{\varphi (n)-1}{a}_i{\zeta }_n^i\mapsto \sum _{i=0}^{\varphi (n)-1}{a}_i{\zeta }_n^{ki}$

이다.

유수

원분체 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ 가운데, 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역인 것(유수가 1인 것)은 총 30개가 있으며, 다음과 같다.

$n\in \{1,\dots ,21,24,25,27,28,32,33,35,36,40,44,45,48,60,84\}$ 틀:OEIS

유수가 1이 아닌 원분체의 유수들은 다음과 같다 ($n\le 99$, $n\equiv ̸2(\mathrm{mod}4)$). 틀:OEIS

n	유수	n	유수	n	유수	n	유수
23	3	29	8	31	9	37	37
39	2	41	121	43	211	47	695
49	43	51	5	52	3	53	4889
55	10	56	2	57	9	59	41241
61	76301	63	7	64	17	65	64
67	853513	68	8	69	69	71	3882809
72	3	73	11957417	75	11	76	19
77	1280	79	100146415	80	5	81	2593
83	838216959	85	6205	87	1536	88	55
89	13379363737	91	53872	92	201	93	6795
95	107692	96	9	97	411322842001	99	2883

소수의 분기화

$\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$에서 분기하는 소수는 $n$의 소인수들이다. 만약

$n=\prod _p{p}^{n_p}$

라면 $n_p>0$, $\mathbb{Z}$의 소 아이디얼 $(p)$는 ${𝒪}_{\mathbb{Q}({\zeta }_n)}$에서 $\varphi (p^{n_p})$제곱 아이디얼로 분해된다. 즉,

$(p)=({𝔓}_1\cdots {𝔓}_s{)}^{\varphi (p^{n_p})}$

인 서로 다른 소 아이디얼들 ${𝔓}_1,\dots ,{𝔓}_s\subset {𝒪}_{\mathbb{Q}({\zeta }_n)}$이 존재한다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 이차 수체