데생당팡

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 데생당팡(틀:Llang)은 리만 곡면을 리만 구 위의 분기화 데이터로 나타내는 그래프이다.

정의

데생당팡 $(V,E,\mathrm{\Sigma })$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $\mathrm{\Sigma }$는 콤팩트 연결 2차원 가향 다양체이다.
• $V\subseteq \mathrm{\Sigma }$는 $\mathrm{\Sigma }$의 유한 부분 집합이다.
• $V\subseteq \mathrm{\Sigma }$는 $X_0$을 포함하는 $\mathrm{\Sigma }$의 부분 집합이며, 다음을 만족시킨다.
  • $E\setminus V\subseteq \mathrm{\Sigma }$는 유한 개의 열린 선분들의 분리 합집합이다. 즉, $E$는 $V$를 꼭짓점 집합으로 하는 유한 그래프 $\mathrm{\Gamma }$를 정의한다. 또한, 이 그래프는 이분 그래프이어야 한다.

흔히, 데생당팡의 꼭짓점들은 (이분 그래프의 구조를 나타내기 위하여) 검게 또는 희게 칠해진다.

두 데생당팡 $(V,E,\mathrm{\Sigma })$, $(V^{\prime },E^{\prime },{\mathrm{\Sigma }}^{\prime })$ 사이의 동형 사상은 다음 조건을 만족시키는 위상 동형 사상 $\iota :\mathrm{\Sigma }\to {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$이다.

$\iota (V)=V^{\prime }$

$\iota (E)=E^{\prime }$

데생당팡 $(\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Sigma })$에 (각 변의 양끝의 색이 다르게 되는) 흰색·검은색 2색으로의 그래프 색칠이 주어졌다고 하자. 이렇게 색칠된 데생당팡 $(V,E,\mathrm{\Sigma })$가 다음 조건을 만족시킨다면, 깨끗한 데생당팡(틀:Llang)이라고 한다.

• 모든 흰색 꼭짓점의 차수(즉, 연결된 변의 수)는 2이다.

깨끗한 데생당팡의 경우, 흰색 꼭짓점들을 삭제하면 (색칠이 없는) 유한 그래프를 이룬다. 반대로, 임의의 유한 그래프 $\mathrm{\Gamma }$에 대하여, 모든 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중심에 새 (차수 2의) 흰 꼭짓점을 추가하면, 이는 깨끗한 데생당팡을 이룬다.

벨리 쌍

벨리 정리(Белый定理, 틀:Llang)에 따르면, $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에 정의된 연결 매끄러운 사영 대수 곡선 $X/\mathrm{Spec}\overline{\mathbb{Q}}$에 대하여, 분지점 집합이 $\{0,1,\mathrm{\infty }\}$의 부분 집합인 $\overline{\mathbb{Q}}$-스킴 사상

$f:X\to {\mathbb{P}}_{\overline{\mathbb{Q}}}^1$

가 존재한다. 즉, $f$를 ${\mathbb{P}}_{\overline{\mathbb{Q}}}^1\setminus \{0,1,\mathrm{\infty }\}$의 원상에 국한하였을 때, 이는 에탈 사상을 이룬다.

즉, 임의의 연결 매끄러운 사영 복소수 대수 곡선(≈연결 콤팩트 리만 곡면) $X$ 및 복소수 대수다양체 사상

$f:X\to {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$의 분지점의 모든 값들은 세 개 이하이며, 이 세 값 모두 대수적 수이다.
• $f$는 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에 정의된다.

이 조건을 만족시키는 사상을 벨리 사상(Белый-, 틀:Llang)이라고 하며, $(X,f)$를 벨리 쌍(Белый雙, 틀:Llang)이라고 한다.

리만 곡면에 대응되는 데생당팡

벨리 쌍 $(X,\beta )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은, 검은색·흰색 그래프 색칠이 주어진 그래프 $\mathrm{\Gamma }$를 구성할 수 있다.

• 각 검은색 꼭짓점들은 $\beta$ 아래 $0\in {ℂ\mathbb{P}}^1$의 원상에 대응한다.
• 각 흰색 꼭짓점들은 $\beta$ 아래 $1\in {ℂ\mathbb{P}}^1$의 원상에 대응한다.
• 각 변은 $\beta$ 아래 선분 $[0,1]⊊{ℂ\mathbb{P}}^1$의 원상에 대응한다.

이는 리만 곡면 $X$ 속의 이분 그래프를 이룬다.

데생당팡과 벨리 사상의 성질은 다음과 같이 대응한다.

데생당팡	벨리 사상
변	분지 피복의 겹 (다항식의 경우, 그 수는 다항식의 차수와 같다)
그래프의 여집합의 연결 성분	무한대의 원상
그래프가 나무인지 여부	무한대가 유일한 원상을 가는지 여부
검은 꼭짓점	0의 원상
흰 꼭짓점	1의 원상
꼭짓점의 차수 (연결된 변의 수)	분지점의 분지 지표

성질

유리수체의 절대 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q})=\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$를 생각하자. 이들은 모든 데생당팡의 집합 위에 추이적으로 작용한다. 사실, 이는 나무 데생당팡들의 집합에 국한하여도 추이적 작용을 이룬다.

구체적으로, 임의의 벨리 사상 $f:X\to {\mathbb{P}}_{\overline{\mathbb{Q}}}^1$이 주어졌을 때, 절대 갈루아 군의 원소 $g\in \mathrm{Gal}(\mathbb{Q})$는 사상

${\varphi }_g:{\mathbb{P}}_{\overline{\mathbb{Q}}}^1\to {\mathbb{P}}_{\overline{\mathbb{Q}}}^1$

을 정의한다. (이는 물론 무한대 및 모든 유리수를 고정시킨다.) 이에 따라, 또다른 벨리 사상 ${\varphi }_g\circ f:X\to {\mathbb{P}}_{\overline{\mathbb{Q}}}^1$를 정의할 수 있다.

특히, $f$와 ${\varphi }_g\circ f$에 대응하는 데생당팡은 같은 (유한한) 수의 변을 가지므로, 주어진 데생당팡의 안정자군 $G\le \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}})$에 대하여, $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}})/G$는 유한군이다. 갈루아 이론에 의하여, $G$는 $\mathbb{Q}$의 유한 확대, 즉 수체에 대응한다. 이 수체를 데생당팡의 모듈러스 수체(modulus數體, 틀:Llang)라고 한다.

예

K_1,n

완전 이분 그래프 $K_{1,6}$. 이는 벨리 사상 $z\mapsto z^6$에 대응하는 데생당팡이다.

완전 이분 그래프 $K_{1,n}$는 데생당팡을 이루며, 이는 벨리 사상

$f:{ℂ\mathbb{P}}^1\to {ℂ\mathbb{P}}^1$

$f:z\mapsto z^n$

에 대응한다.

경로 그래프

꼭짓점을 $n+1$개 갖는 경로 그래프 $\mathrm{\Gamma }$를 생각하자. 이에 대응하는 벨리 사상은 다음과 같다.

$ℂ{\mathbb{P}}^{\mathrm{𝟙}}\to {ℂ\mathbb{P}}^1$

$z\mapsto \frac{1}{2}({\mathrm{T}}_n(z)+1)$

여기서 ${\mathrm{T}}_n$은 $n$차 체비쇼프 다항식이다. (이는 체비쇼프 다항식의 분지점은 ±1이기 때문이다.)

간단한 예

간단한 벨리 사상에 대응하는 데생당팡들은 다음과 같다.

복잡한 예

예를 들어, 벨리 사상

$f:{ℂ\mathbb{P}}^1\to {ℂ\mathbb{P}}^1$

$f:z\mapsto -\frac{(z-1{)}^3(z-9)}{64z}=1-\frac{(z-3+2\sqrt{3}{)}^2(z-3-2\sqrt{3}{)}^2}{64z}=\frac{1}{64}(-z^3+12z^2-30z+28-\frac{9}{z})$

를 생각하자. 이 경우, $\{0,1,\mathrm{\infty }\}$의 원상인 분지점들은 다음과 같다.

$z$	$f(z)$	${\mathrm{deg}}_{z}f$
1	0	3
9	0	1
$3+2\sqrt{3}$	1	2
$3-2\sqrt{3}$	1	2
0	∞	1
∞	∞	3

이에 따라, 이 벨리 쌍에 대응되는 데생당팡은 다음과 같다.

이는 깨끗한 데생당팡이다.

역사

1879년에 펠릭스 클라인은 어떤 특별한 리만 곡면을 계산하기 위하여 오늘날의 데생당팡과 사실상 같은 그래프들을 사용하였으며, 틀:Llang(“선형 획”)이라고 불렀다. 클라인은 오늘날 표기의 검은 꼭짓점(0의 원상)과 흰 꼭짓점(1의 원상)을 각각 ⚬와 +로 표기하였다. 클라인이 찾던 리만 곡면은 리만 구의 11겹 분지 피복 ${ℂ\mathbb{P}}^1\twoheadrightarrow {ℂ\mathbb{P}}^1$이었으며, 모노드로미 군 $\mathrm{PSL}(2;{𝔽}_{11})$을 가진다. 이로부터, 클라인은 이 벨리 사상을 나타내는 데생당팡은 나무이며, 11개의 변과 7개의 흰 꼭짓점과 5개의 검은 꼭짓점을 가지며, 그 가운데 3개의 검은 꼭짓점은 3차 꼭짓점이며 4개의 흰 꼭짓점은 2차 꼭짓점이라는 사실을 유추하였다. 클라인은 이 조건들을 모두 충족시키는 10개의 데생당팡을 모두 나열한 뒤, 이들의 모노드로미 군을 각각 계산하여 자신이 찾는 리만 곡면에 해당하는 데생당팡이 10개의 가능성 가운데 어느 것인지 찾을 수 있었다.

1970년대에 알렉산더 그로텐디크는 벨리 정리를 추측하였으나, 피에르 들리뉴는 이를 거짓이라고 생각하였다. 그러나 곧 1979년에 겐나디 벨리가 벨리 정리를 증명하였다. 이에 대하여 그로텐디크는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

이에 영향을 받아, 알렉산더 그로텐디크가 1984년에 데생당팡을 도입하였다.

“데생당팡”은 프랑스어로 “어린이의 그림”이라는 뜻이다.

틀:Llang=틀:Lang그림 + 틀:Lang~의 + 틀:Lang어린이

이는 데생당팡의 정의에 등장하는 그래프는 한붓그리기가 가능하기 때문에, 마치 크레용을 스케치북에서 떼지 않고 마구 그린 그림과 유사하기 때문이다.

이에 대하여 그로텐디크는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

참고 문헌

• 틀:서적 인용틀:깨진 링크

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
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