유니터리 작용소

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 유니터리 작용소(unitary作用素, 틀:Llang)는 힐베르트 공간의 자기동형사상이다. 즉, 내적을 보존시키는 전단사 선형 변환이다.

정의

힐베르트 공간 $(\mathscr{H},⟨\cdot |\cdot ⟩)$ 위의 유계 작용소 $U:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유계 작용소를 유니터리 작용소라고 한다.

• $U^{†}U=U{U}^{†}=I$ ($U^{†}$는 $U$의 에르미트 수반)
• $U$는 전사 함수이며, 모든 $u,v\in \mathscr{H}$에 대하여 $⟨Uu|Uv⟩=⟨u|v⟩$이다.
• $U$의 상은 $\mathscr{H}$의 조밀 집합이며, 모든 $u,v\in \mathscr{H}$에 대하여 $⟨Uu|Uv⟩=⟨u|v⟩$이다.

만약 마지막 조건에서 상에 대한 조건을 생략할 경우, $U$는 등거리 변환이라고 한다. 이는 유니터리 작용소보다 더 약한 개념이다. 등거리사상은 $U^{†}U=I$를 만족시키지만, $U{U}^{†}=I$는 만족시키지 않을 수 있다.

예

항등 함수 $v\mapsto v$는 항상 유니터리 작용소이다.

유한 차원 실수 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 직교행렬이다. 유한 차원 복소 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 유니터리 행렬이다.

힐베르트 공간 $\mathscr{H}$의 기저 $ℬ\subset \mathscr{H}$ 위의 대칭군 $\mathrm{Sym}(ℬ)$의 원소 $\sigma \in \mathrm{Sym}(ℬ)$로부터 유도되는 선형변환

$\sum _{b\in ℬ}{v}_{b}b\mapsto \sum _{b\in ℬ}{v}_b\sigma (b)$

은 유니터리 작용소이다. 대신, $\sigma :ℬ\to ℬ$가 단사 함수이지만 전사 함수가 아니라면, 이는 등거리 변환이지만 유니터리 작용소가 아니다.

유클리드 공간 위의 복소수 L² 공간 $L^2({ℝ}^n;ℂ)$ 위의 푸리에 변환 연산자

$ℱ:L^2({ℝ}^n;ℂ)\to L^2({ℝ}^n;ℂ)$

는 유니터리 작용소이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom