대각 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 대각 행렬(對角行列, 틀:Llang)은 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬이다.틀:Rp

정의

환 $R$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $D\in \mathrm{Mat}(n;R)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 행렬을 대각 행렬이라고 한다.

• 임의의 $i,j\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $i\ne j$라면, $D_{ij}=0$
• $D$는 상삼각 행렬이며, 동시에 하삼각 행렬이다.

각 $i$번째 대각 성분이 $d_i\in R$인 대각 행렬은 다음과 같이 표기할 수 있다.

$\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_n)=\left(\begin{array}{c}{d}_1\\ & d_2\\ & & \ddots \\ & & & d_n\end{array}\right)$

마찬가지로, 임의의 크기 $m\times n$의 대각 행렬을 정의할 수 있으며, 이 경우 다음과 같은 표기를 사용할 수 있다.틀:Rp

${\mathrm{diag}}_{m\times n}(d_1,\dots ,d_{\min \{m,n\}})$

성질

대칭성과 반대칭성

환 $R$ 위의 모든 대각 행렬 $D\in \mathrm{Mat}(n;R)$는 대칭 행렬이자 반대칭 행렬이다.

표수가 2가 아닌 환 $R$ 위의 정사각 행렬 $D\in \mathrm{Mat}(n;R)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $D$는 대각 행렬이다.
• $D$는 대칭 행렬이며, 또한 반대칭 행렬이다.

(표수 2의 환 위에서는 대칭 행렬과 반대칭 행렬이 동치이며, 이는 일반적으로 대각 행렬과 동치가 아니다.)

고윳값

체 $K$ 위의 대각 행렬 $D\in \mathrm{Mat}(n;K)$의 고윳값은 대각 성분들이다. 각 고윳값의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치하며, 이는 단순히 대각 성분이 나타난 횟수이다.

대각화

틀:본문 환 $R$ 위의 모든 대각 행렬 $D\in \mathrm{Mat}(n;R)$는 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $M$은 대각화 가능 행렬이다.
• $M$의 모든 고윳값의 기하적 중복도는 그 대수적 중복도와 일치한다.
• $M$의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.

직교 대각화와 유니터리 대각화

틀:본문 틀:본문 실수 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;ℝ)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp틀:Rp

• $M$은 직교 대각화 가능 행렬이다. 즉, $Q^{-1}MQ$가 대각 행렬이 되는 실수 직교 행렬 $Q\in \mathrm{O}(n;ℝ)$가 존재한다.
• $M$은 대칭 행렬이다.

복소수 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;ℂ)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp틀:Rp

• $M$은 유니터리 대각화 가능 행렬이다. 즉, $U^{-1}MU$가 대각 행렬이 되는 유니터리 행렬 $U\in \mathrm{U}(n)$이 존재한다.
• $M$은 정규 행렬이다.

복소수 정사각 행렬 $D\in \mathrm{Mat}(n;ℂ)$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp틀:Rp

• $D$는 대각 행렬이다.
• $D$는 상삼각 행렬이며, 정규 행렬이다.
• $D$는 하삼각 행렬이며, 정규 행렬이다.

특히, 대각 행렬이 아닌 복소수 상·하삼각 행렬은 유니터리 대각화 가능하지 않다.

예

모든 스칼라 행렬은 대각 행렬이다. 특히, 단위 행렬과 영행렬은 대각 행렬이다.

다음 실수 $4\times 4$ 정사각 행렬은 대각 행렬이다.

$\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

다음 실수 $5\times 3$ 행렬은 대각 행렬이다.

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

다음 실수 $2\times 4$ 행렬은 대각 행렬이다.

$\left(\begin{array}{cccc}9& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\end{array}\right)$

같이 보기

• 띠행렬
• 반대각 행렬

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드