특수 유니터리 군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 특수 유니터리 군(特殊unitary群, 틀:Llang)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다.

정의

체 $K$가 자기 동형

$\overline{}:K\to K$

를 가진다고 하자. $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$와, $V$ 위의 비퇴화 반쌍선형 형식

$Q:V\times V\to K$

$Q(au+bv,w)=\overline{a}Q(u,w)+\overline{b}Q(v,w)$

$Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b)$

가 주어졌을 때, 특수 유니터리 군 $\mathrm{SU}(V,Q)$는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다.

$\mathrm{SU}(V,Q)=\{M\in \mathrm{SL}(V):Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\mathrm{\forall }u,v\in V\}$

특히, 만약 $V$가 $n$차원 벡터 공간이며, $Q$가 자명한 항등 이차 형식

$Q(u,v)=\sum _{i=1}^n\overline{u}v$

일 경우, 이를 $\mathrm{SU}(n;K)$라고 쓴다. 만약 $K$를 생략하는 경우, $K=ℂ$를 뜻한다.

또한, 만약 $K=ℂ$이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며, $V$가 $(p+q)$차원 복소수 벡터 공간이며, $Q$의 계량 부호수가 $(p,q)$라면, 이는 $\mathrm{SU}(p,q)$라고 쓴다.

리 대수

$\mathrm{SU}(n;K)$의 리 대수

$𝔰𝔲(n;K)=\{M\in 𝔤𝔩(n;K):M^{†}=-M\}$

은 $n\times n$ 반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서 $M^{†}=(\overline{M}{)}^{\mathrm{\top }}=\overline{M^{\mathrm{\top }}}$은 $M$에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 전치 행렬을 취한 것이다.

특히, $𝔰𝔲(2)$는 파울리 행렬로 생성되며, $𝔰𝔲(3)$는 겔만 행렬로 생성된다.

SU*(2n)

$𝔰𝔲(2n;ℂ)$의 경우, ${𝔰𝔲}^{*}(2n)$ 또는 $𝔰𝔩(n;ℍ)$로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위에 심플렉틱 구조

$\mathrm{\Omega }\in \mathrm{GL}(V;K)$

${\mathrm{\Omega }}^2=-1$

$\mathrm{\Omega }=-{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\top }}$

가 주어졌다고 하자. (만약 $V$가 유한 차원일 때, $V$는 짝수 차원이 되며, 적절한 기저에서 $\mathrm{\Omega }$를

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}{0}_{n\times n}& 1_{n\times n}\\ -1_{n\times n}& 0_{n\times n}\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(2n;K)$

의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 리 군을 정의할 수 있다.

${\mathrm{U}}^{*}(2n)=\{M\in \mathrm{GL}(2n;ℂ):\overline{M}\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }M\}$

${\mathrm{SU}}^{*}(2n)={\mathrm{U}}^{*}(2n)\cap \mathrm{SL}(2n;ℂ)$

만약 $K=ℂ$일 때, ${\mathrm{SU}}^{*}(2n)$의 실수 리 대수는 $𝔰𝔲(2n){\otimes }_{ℝ}ℂ$의 실수 형태이다.

$K=ℂ$일 때, 이 구성은 사원수로 적을 수 있다. 우선, 사원수 벡터 공간 ${ℍ}^n$ 위의 사원수 선형 변환의 리 군

$\mathrm{GL}(n;ℍ)={\mathrm{Aut}}_{ℍ}({ℍ}^n)={\mathrm{U}}^{*}(2n)$

을 생각하자. 이는 실수 $4n^2$차원의 리 군이다. 이제, 임의의

$\iota \in \{q\in ℍ:q^2=-1,\overline{q}=-q\}=\{v_1\mathrm{i}+v_2\mathrm{j}+v_3\mathrm{k}:v_1^2+v_2^2+v_3^2=1\}$

는 $ℍ$의 복소구조

$j:q\mapsto \iota q$

를 정의하며, 이 복소구조에 대하여

$\mathrm{SL}(n;ℍ)=\mathrm{GL}(n;ℍ)\cap \mathrm{SL}(2n;ℂ)={\mathrm{SU}}^{*}(2n)$

를 정의할 수 있다. 이 정의는 $\iota$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

성질

군론적 성질

특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{SU}(n))=\{\exp (2\pi ik/n)1_{n\times n}:k=0,1,\dots ,n-1\}\cong \mathbb{Z}/n$

중심에 대한 몫군을 사영 특수 유니터리 군(틀:Llang)이라고 한다.

$1\to \mathbb{Z}/n\cong \mathrm{Z}(\mathrm{SU}(n))\to \mathrm{SU}(n)\to \mathrm{PSU}(n)\to 1$

리 이론적 성질

특수 유니터리 군 $\mathrm{SU}(n)$ 은 $n^2-1$차원 단순 리 군이며, 계수는 $n-1$이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 $A_{n-1}$이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

$\bullet -\bullet -\cdots -\bullet$

특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

$\{\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{n-1},\prod _{i=1}^{n-1}{\lambda }_i^{-1}):{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{n-1}\in \mathrm{U}(1)\}\subset \mathrm{SU}(n)$

특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다.

$\mathrm{Weyl}(\mathrm{SU}(n))=\mathrm{Sym}(n)$

대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$은 $n$차원 순열 표현(틀:Llang) 및 그 부분 표현인 $n-1$차원의 표준 표현(틀:Llang)을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은 $n$차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.

위상수학적 성질

$\mathrm{SU}(n)$은 콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다.

$\mathrm{SU}(2)$는 3차원 초구 ${𝕊}^3$와 위상동형이다.

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

• $\mathrm{SO}(2n)\supset \mathrm{SU}(n)$. 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는 $\mathrm{SO}(2n)$ 딘킨 도표에서 $\circ$로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.

  $\stackrel{n-3}{\overbrace{\bullet -\bullet -\cdots -\bullet }}-\stackrel{\genfrac{}{}{0ex}{}{\circ }{|}}{\bullet }-\bullet \to \stackrel{n-3}{\overbrace{\bullet -\bullet -\cdots -\bullet }}-\bullet -\bullet$

• $\mathrm{SU}(n)\supset \mathrm{SO}(n)$. 이는 실수 $n\times n$ 행렬을 복소수 $n\times n$ 행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다.
• $\mathrm{SU}(n+1)\supset \mathrm{U}(n)$. 이는 $\mathrm{SU}(n+1)$ 딘킨 도표에서 $\circ$로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.

  $\stackrel{n}{\overbrace{\bullet -\bullet -\cdots -\bullet }}-\circ \to \stackrel{n}{\overbrace{\bullet -\bullet -\cdots -\bullet }}$

• $\mathrm{SU}(2n)\supset \mathrm{USp}(2n)$. 이는 $\mathrm{SU}(2n)$의 딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다.

  $\stackrel{n-1}{\overbrace{\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet -\bullet -\cdots -\bullet }{\bullet -\bullet -\cdots -\bullet }}}⟩\bullet \to \stackrel{n-1}{\overbrace{\bullet -\bullet -\cdots -\bullet }}\Leftarrow \bullet$

• $E_7\supset \mathrm{SU}(8)/(\mathbb{Z}/2)$.틀:Rp 이는 E₇ 딘킨 도표에서, $\otimes$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 $\circ$을 제거하여 얻는다.

  $\bullet -\bullet -\stackrel{\genfrac{}{}{0ex}{}{\circ }{|}}{\bullet }-\bullet -\bullet -\bullet \to \otimes -\bullet -\bullet -\stackrel{\genfrac{}{}{0ex}{}{\circ }{|}}{\bullet }-\bullet -\bullet -\bullet \to \otimes -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet$

• $E_8\supset \mathrm{SU}(9)/(\mathbb{Z}/3)$.틀:Rp 이는 E₈의 $\mathbb{Z}/3$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, $\otimes$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 $\circ$을 제거하여 얻는다.

  $\bullet -\bullet -\stackrel{\genfrac{}{}{0ex}{}{\circ }{|}}{\bullet }-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \to \bullet -\bullet -\stackrel{\genfrac{}{}{0ex}{}{\circ }{|}}{\bullet }-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\otimes \to \bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\otimes$

• $G_2\supset \mathrm{SU}(3)$

예외적 동형

낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 예외적 동형(틀:Llang)이 성립한다.

$\mathrm{SU}(1)\cong 1$

$\mathrm{SU}(2)\cong \mathrm{Spin}(3)$

$\mathrm{PSU}(2)\cong \mathrm{SO}(3)$

$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)\cong \mathrm{Spin}(4)$

$(\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2))/(\mathbb{Z}/2)\cong \mathrm{SO}(4)$

$\mathrm{SU}(4)\cong \mathrm{Spin}(6)$

$\mathrm{SU}(4)/(\mathbb{Z}/2)\cong \mathrm{SO}(6)$

$\mathrm{PSU}(4)\cong \mathrm{PSO}(6)$

표현론

$\mathrm{SU}(n)$의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, 정의 표현(틀:Llang) $◻$은 $n$차원 표현이며, 그 켤레 $\overline{◻}$ 역시 $n$차원 표현이다. 또한, $n^2-1$차원 딸림 표현이 항상 존재한다.

$\mathrm{SU}(2)$의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 $j\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}$에 의하여 분류된다. 이를 표현의 스핀이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다.

응용

SU(n)은 입자물리학의 표준 모형에서 쓰인다. SU(2)는 약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab

같이 보기

• SU(2)
• 유니터리 군
• 직교군
• 심플렉틱 군