위상 함자

틀:위키데이터 속성 추적 범주론과 일반위상수학에서 위상 함자(位相函子, 틀:Llang)는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.^[1]틀:Rp

정의

원천과 흡입

범주 $ℰ$ 의 원천(源泉, 틀:Llang) $(X, (Y_{i})_{i \in I}, (f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I})$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[2]틀:Rp

$X \in ℰ$ 는 대상이다.
$(Y_{i})_{i \in I} \subseteq ℰ$ 는 $ℰ$ 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
$(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 는 $ℰ$ 의 사상들의 모임이다.

마찬가지로, $ℰ$ 의 흡입(吸入, 틀:Llang) $(X, (Y_{i})_{i \in I}, (f_{i} : Y_{i} \to X)_{i \in I})$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$X \in ℰ$ 는 대상이다.
$(Y_{i})_{i \in I} \subseteq ℰ$ 는 $ℰ$ 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
$(f_{i} : Y_{i} \to X)_{i \in I}$ 는 $ℰ$ 의 사상들의 모임이다.

만약 $I$ 가 공집합이라면, 원천 $(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 은 단순히 대상 $X$ 이며, 만약 $I$ 가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 $X \to Y$ 이다.

시작 원천과 끝 흡입

범주 $ℰ$ 의 원천 $(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 및 함자 $Π : ℰ \to ℬ$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, $(f_{i})_{i \in I}$ 를 $Π$ -시작 원천(始作源泉, 틀:Llang)이라고 한다.^[2]틀:Rp

임의의 대상 $X^{'} \in ℰ$ 및 사상 $\hat{g} : Π (X^{'}) \to Π (X)$ 및 사상족 $(f'_{i} : X^{'} \to Y_{i})_{i \in I}$ 에 대하여, $\forall i \in I : Π (f_{i}) \circ \hat{g} = Π (f'_{i})$ 라면, $\hat{g} = Π (g)$ 이자 $\forall i \in I : f_{i} \circ g = f'_{i}$ 인 $g : X^{'} \to X$ 가 유일하게 존재한다.
$\begin{matrix} ℰ & \overset{Π}{\to} & ℬ \\ \begin{matrix} X^{'} \\ \exists! g ↓ \exists! g & ↘^{f'_{i}} \\ X & \to f_{i} & Y_{i} \end{matrix} & \overset{Π}{\mapsto} & \begin{matrix} Π X^{'} \\ \hat{g} ↓ \hat{g} & ↘^{Π f'_{i}} \\ Π X & \to Π f_{i} & Π Y_{i} \end{matrix} \end{matrix}$

마찬가지로, 그 쌍대 개념인 $Π$ -끝 흡입(-吸入, 틀:Llang)을 정의할 수 있다.

만약 $I$ 가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다.

올림

두 범주 $ℰ$ , $ℬ$ 사이의 함자 $Π : ℰ \to ℬ$ 가 주어졌다고 하자. $ℬ$ 의 원천 $({\hat{f}}_{i} : \hat{X} \to {\hat{Y}}_{i})_{i \in I}$ 에서, 만약 ${\hat{Y}}_{i} = Π (Y_{i})$ 인 $Y_{i} \in ℰ$ 가 존재한다면, 원천 $({\hat{f}}_{i} : \hat{X} \to {\hat{Y}}_{i})_{i \in I}$ 를 $Π$ -구조 원천(構造源泉, 틀:Llang)이라고 한다.^[2]틀:Rp 마찬가지로 $Π$ -구조 흡입(構造吸入, 틀:Llang)을 정의한다.

$Π$ -구조 원천 $({\hat{f}}_{i} : \hat{X} \to Π (Y_{i}))_{i \in I}$ 의 올림은 $Π (X) = \hat{X}$ 이자 $\forall i \in I : Π (f_{i}) = {\hat{f}}_{i}$ 인 $ℰ$ -원천 $(f_{i} : \hat{X} \to Y_{i})_{i \in I}$ 이다.

\begin{matrix} ℰ & \overset{Π}{\to} & ℬ \\ \begin{matrix} \exists X \\ \exists f_{i} ↓ \exists f_{i} \\ Y_{i} \end{matrix} & \overset{Π}{\mapsto} & \begin{matrix} \hat{X} \\ {\hat{f}}_{i} ↓ {\hat{f}}_{i} \\ Π Y_{i} \end{matrix} \end{matrix}

$Π$ -구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다. 시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

임의의 $Π$ -구조 원천 $(\hat{X} \to Π (Y_{i}))_{i \in I}$ 이 만약 시작 원천 $(X \to Y_{i})_{i \in I}$ 을 갖는다면, $X$ 를 원천 $(\hat{X} \to Π (Y_{i}))_{i \in I}$ 에 대한 $\hat{X}$ 의 시작 $ℰ$ -구조(始作構造, 틀:Llang)라고 한다. 마찬가지로, $Π$ -구조 흡입에 대한 끝 $ℰ$ -구조(-構造, 틀:Llang)를 정의할 수 있다.

위상 함자

함자 $Π : ℰ \to ℬ$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자(틀:Llang)라고 한다.^[2]틀:Rp^[3]틀:Rp^[4]틀:Rp

모든 $Π$ -구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
모든 $Π$ -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.

위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.^[1]

구체적 범주 $(ℰ, F)$ 에서, 만약 $F : ℰ \to Set$ 가 위상 함자라면, 이를 위상 구체적 범주(位相具體的範疇, 틀:Llang)라고 하며, 흔히 위상 범주(位相範疇, 틀:Llang)로 줄여 부른다.

성질

모든 위상 함자는 충실한 함자이다.^[2]틀:Rp

위상 함자 $Π : ℰ \to ℬ$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다.
모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다.
모든 엉성함 원순서들은 부분 순서들이다. 즉, 만약 $f : X \to Y$ 와 $g : Y \to X$ 가 $ℰ$ 의 사상이며, $Π (X) = Π (Y) = \hat{X}$ 이며 $Π (f) = Π (g) = {id}_{\hat{X}}$ 라면, $X = Y$ 이다.

(이 조건은 범주의 동치에 의하여 보존되지 않는 성질이다.)

$𝖯$ 가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.

위상 함자 $Π : ℰ \to ℬ$ 에 대하여, 만약 $ℬ$ 가 $𝖯$ 라면, $ℰ$ 역시 $𝖯$ 이다.

임의의 범주 $ℰ$ 에 대하여, 위상 함자 $ℰ \to Set$ 들은 자연 동형 아래 유일하다.^[5]틀:Rp

예

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.

집합과 함수의 범주 $Set$ ^[4]틀:Rp
위상 공간과 연속 함수의 범주 $Top$ ^[4]틀:Rp
콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 $KolmTop$ ^[4]틀:Rp
T1 공간과 연속 함수의 범주 $T_{1} T o p$ ^[4]틀:Rp
하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $HausTop$ ^[4]틀:Rp
콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $CompHausTop$ ^[4]틀:Rp
균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 $Unif$ ^[4]틀:Rp
가측 공간과 가측 함수의 범주 $Measble$
원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 $Proset$ ^[4]틀:Rp
부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 $Poset$ ^[4]틀:Rp
확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 $\infty p M e t$ ^[6]틀:Rp
로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 $\infty q p M e t$ ^[6]틀:Rp

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.

차분한 공간과 연속 함수의 범주 $SoberTop$
정규 공간과 연속 함수의 범주 $NormTop$
정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $NormHausTop$
장소와 장소 사상의 범주 $Loc$
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 $Diff$

위상 공간

위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, 틀:Llang)과 끝 위상(-位相, 틀:Llang)이라고 불린다.

즉, 집합 $X$ 와 위상 공간들의 족 $(Y_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, $X$ 위의 시작 위상은 $f_{i}$ 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.

⋃_{i \in I} {f_{i}^{- 1} (U) ∣ U \in Open (Y_{i})}

여기서 $Open (Y_{i})$ 는 $Y_{i}$ 의 위상(열린집합들의 족)이다.

마찬가지로, 집합 $X$ 와 위상 공간들의 족 $(Y_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : Y_{i} \to X)_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, $X$ 위의 끝 위상은 $f_{i}$ 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 위상은 다음과 같다.

U \in Open (X) ⟺ \forall i \in I : f^{- 1} (U) \in Open (Y_{i})

가측 공간

집합 $X$ 와 가측 공간들의 족 $(Y_{i}, Σ_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 시작 시그마 대수(틀:Llang)는 $f_{i}$ 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 시그마 대수는

⋃_{i \in I} {f_{i}^{- 1} (S) ∣ S \in Σ_{i}}

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 $X$ 와 가측 공간들의 족 $(Y_{i}, Σ_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : Y_{i} \to X)_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 끝 시그마 대수(틀:Llang)는 $f_{i}$ 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 시그마 대수 $Σ$ 는 다음과 같다.

S \in Σ ⟺ \forall i \in I : f^{- 1} (S) \in Σ_{i}

균등 공간

집합 $X$ 와 균등 공간들의 족 $(Y_{i}, ℰ_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 시작 균등 구조(틀:Llang)는 $f_{i}$ 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 균등 구조는

⋃_{i \in I} {f_{i}^{- 1} (E) ∣ E \in ℰ_{i}}

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 $X$ 와 균등 공간들의 족 $(Y_{i}, ℰ_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : Y_{i} \to X)_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 끝 균등 구조(틀:Llang)는 $f_{i}$ 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 균등 구조 $ℰ$ 는 다음과 같다.

E \in ℰ ⟺ \forall i \in I : f_{i}^{- 1} (E) \in ℰ_{i}

유계형 집합

집합 $X$ 와 유계형 집합들의 족 $(Y_{i}, ℬ_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 시작 유계형(틀:Llang)은 $f_{i}$ 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 유계형은 다음과 같다.

B \in ℬ ⟺ \forall i \in I : f_{i} (B) \in ℬ_{i}

마찬가지로, 집합 $X$ 와 유계형 집합들의 족 $(Y_{i}, ℬ_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : Y_{i} \to X)_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 끝 유계형(틀:Llang)은 $f_{i}$ 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 유계형은

⋃_{i \in I} {f_{i} (B) : B \in ℬ_{i}}

로 생성된다.

원순서 집합

집합 $X$ 와 원순서 집합들의 족 $(Y_{i}, ≲_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : X \to Y_{i})_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 시작 원순서(틀:Llang)는 $f_{i}$ 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 원순서는 다음과 같다.

a ≲ b ⟺ \forall i \in I : f_{i} (a) ≲_{i} f_{i} (b)

마찬가지로, 집합 $X$ 와 원순서 집합들의 족 $(Y_{i}, ≲_{i})_{i \in I}$ 및 함수족 $(f_{i} : Y_{i} \to X)_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 끝 원순서(틀:Llang)는 $f_{i}$ 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 원순서 $≲$ 는

⋃_{i \in I} {(f_{i} (a), f_{i} (b)) : a ≲_{i} b, a, b \in Y_{i}}

로 생성된다.

역사

1974년에 호르스트 헤를리히(틀:Llang, 1937~2015)가 도입하였다.^[2]

각주

틀:각주

외부 링크

↑ ^1.0 ^1.1 틀:저널 인용
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 ^2.5 틀:저널 인용
↑ 틀:저널 인용
↑ ^4.00 ^4.01 ^4.02 ^4.03 ^4.04 ^4.05 ^4.06 ^4.07 ^4.08 ^4.09 틀:서적 인용
↑ 틀:저널 인용
↑ ^6.0 ^6.1 틀:서적 인용

[Garner-1] 1.0 ^1.1 틀:저널 인용

[Herrlich-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 ^2.5 틀:저널 인용

[3] 틀:저널 인용

[LSV-4] 4.00 ^4.01 ^4.02 ^4.03 ^4.04 ^4.05 ^4.06 ^4.07 ^4.08 ^4.09 틀:서적 인용

[Hoffmann1975-5] 틀:저널 인용

[Lowen-6] 6.0 ^6.1 틀:서적 인용

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

위상 함자

목차

정의

원천과 흡입

시작 원천과 끝 흡입

올림

위상 함자

성질

예

위상 공간

가측 공간

균등 공간

유계형 집합

원순서 집합

역사

각주

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정의

원천과 흡입

시작 원천과 끝 흡입

올림

위상 함자

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위상 공간

가측 공간

균등 공간

유계형 집합

원순서 집합

역사

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