로비어 공간

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 로비어 공간(Lawvere空間) 또는 일반화 거리 공간(一般化距離空間, 틀:Llang) 또는 반거리 공간(半距離空間, 틀:Llang) 또는 확장 준 유사 거리 공간(擴張準類似距離空間, 틀:Llang, 약자 ∞qp-거리 공간 틀:Llang)은 거리 공간 및 유사 거리 공간 및 확장 유사 거리 공간의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다.

정의

로비어 공간의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.

• 기초적으로, 일련의 공리를 만족시키는 거리 함수를 갖춘 집합으로 정의될 수 있다.
• 더 일반적인 개념인 접근 공간(틀:Llang)의 특수한 경우로 정의될 수 있다.
• 풍성한 범주의 이론을 사용하여, 음이 아닌 확장된 실수의 닫힌 모노이드 범주 위의 풍성한 범주로 정의될 수 있다.

두 정의는 서로 동치이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 범주론적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다.

기초적 정의

집합 $X$ 위의 로비어 계량(틀:Llang)은 다음 두 조건을 만족시키는, 확장된 실수 값 함수

$d:X^2\to [0,\mathrm{\infty }]$

이다.틀:Rp

• (삼각 부등식) 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, $d(x,y)+d(y,z)\le d(x,z)$
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $d(x,x)=0$

다만, 위 정의에서 $d(x,y)=d(y,x)$일 필요는 없다. 이 조건을 추가로 만족시키는 로비어 공간을 확장 유사 거리 공간이라고 한다. 만약 $d$의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 유사 거리 공간이 된다.

로비어 공간들과 상수 1의 립시츠 연속 함수들, 즉 함수 $f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)$ 가운데

$d_X(x,x^{\prime })\le d_Y(f(x),f(x^{\prime }))$

를 만족시키는 것들은 구체적 범주를 이룬다. 이를 $\mathrm{\infty }\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{t}$라고 표기하자.

접근 구조를 통한 정의

틀:구별2 집합 $X$ 위의 접근 구조(接近構造, 틀:Llang) $\delta$는 다음 네 조건을 만족시키는 함수

$\delta :X\times 𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$

이다.

• $\mathrm{\forall }x\in X:\delta (x,\{x\})=0$
• $\mathrm{\forall }x\in X:\delta (x,\varnothing )=\mathrm{\infty }$
• $\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }A,B\subseteq X:\delta (x,A\cup B)=\min \{\delta (x,A),\delta (x,B)\}$
• $\mathrm{\forall }ϵ\in [0,\mathrm{\infty }]\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }A\subseteq X:\delta (x,A)\le \delta (x,\{y\in X:\delta (y,A)\le ϵ\})+ϵ$

접근 구조를 갖춘 집합을 접근 공간(接近空間, 틀:Llang)이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간 $(X,\delta )$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 임의의 $x\in X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $\delta (x,Y)=\underset{y\in Y}{\inf }\delta (x,\{y\})$
• 임의의 $x\in X$ 및 집합족 $𝒴\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, $\delta (x,\bigcup 𝒴)=\underset{Y\in 𝒴}{\inf }\delta (x,Y)$
• $X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]$, $(x,y)\mapsto \delta (x,\{y\})$는 로비어 계량을 이룬다.

이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 로비어 공간이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 한원소 집합만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다.

반대로, 로비어 공간 $(X,d)$이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는

$\delta (x,Y)=\underset{y\in Y}{\inf }d(x,y)\in [0,\mathrm{\infty }]\mathrm{\forall }Y\subseteq X$

가 된다.

범주론적 정의

다음과 같은 작은 범주 $𝒞=[0,\mathrm{\infty }{]}^{\mathrm{op}}$를 생각하자.

• $𝒞$의 대상은 음이 아닌 확장된 실수이다.
• 임의의 두 $a,b\in [0,\mathrm{\infty }]$에 대하여, 만약 $a\ge b$라면, 하나의 사상 $a\to b$가 존재한다.

이 범주는 완비 범주이며, 텐서곱

$a\otimes b=a+b$

에 대하여 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 이에 따라 $𝒞$에 대한 풍성한 범주의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, $𝒞$-풍성한 작은 범주 $X$를 로비어 공간이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 립시츠 연속 함수의 개념과 일치한다.

두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.

기초적 정의	범주론적 정의
공간 속의 점	범주의 대상
거리 함수 $d(x,y)$	사상 집합 ${\mathrm{hom}}_X(x,y)$
삼각 부등식 $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$	사상의 합성 ${\mathrm{hom}}_X(y,z)\circ {\mathrm{hom}}_X(x,y)\to {\mathrm{hom}}_X(x,z)$
스스로와의 거리 $d(x,x)=0$	항등 사상

위상

유사 거리 공간의 경우와 달리, 로비어 공간 $(X,d)$ 위에는 다양한 위상이 사용된다.

로비어 공간 $(X,d)$ 위의, 중심 $x\in X$의, 반지름 $r\in (0,\mathrm{\infty }]$의 열린 공(틀:Llang)은 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{ball}}_X(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$

열린 공들의 집합족

$\{{\mathrm{ball}}_X(x,r):r\in (0,\mathrm{\infty }],x\in X\}$

은 위상의 기저를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 일반화 알렉산드로프 위상(틀:Llang) 또는 열린 공 위상(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

증명:

다음 두 조건을 보이면 족하다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여 $\mathrm{ball}(x,\mathrm{\infty })=X$이므로, 열린 공들은 $X$의 덮개를 이룬다.
• 임의의 $x,y\in X$ 및 $r,s\in (0,\mathrm{\infty }]$ 및 $z\in {\mathrm{ball}}_X(x,r)\cap {\mathrm{ball}}_X(y,s)$에 대하여, $t=\min \{r-d(x,z),s-d(y,z)\}$를 정의하면, 삼각 부등식에 의하여 ${\mathrm{ball}}_X(z,t)\subseteq {\mathrm{ball}}_X(x,r)\cap {\mathrm{ball}}_X(y,s)$이다.

일반화 스콧 위상

로비어 공간 $(X,d)$ 속의 점렬 $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$이 다음 조건을 만족시키면 코시 열이라고 하자.틀:Rp

$\mathrm{\forall }ϵ\in {ℝ}^{+}\mathrm{\exists }{N}_{ϵ}\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }i\ge N_{ϵ}\mathrm{\forall }j\ge i:d(x_i,x_j)<ϵ$

여기서 $j\ge i$이어야 하는 것에 주의하자. (마찬가지로 그 반대 개념을 정의할 수 있다. 즉, $X$의 코시 열과 $X^{\mathrm{op}}$의 코시 열은 일반적으로 다르다.) 코시 열 $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$에 대하여, 만약

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}d(x_i,x)=0$

이라면, $x_i$가 $x$로 수렴한다고 하자.

로비어 공간 $(X,d)$ 위의 일반화 스콧 위상(틀:Llang)에서, 부분 집합 $U\subseteq X$가 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

• 임의의 코시 열 $x_0,x_1,\dots \in X$가 $x\in X$로 수렴한다면,

  $x\in U⟺\mathrm{\exists }(N,ϵ)\in \mathbb{N}\times {ℝ}^{+}:\bigcup _{i\ge N}{\mathrm{ball}}_X(x_i,ϵ)\subseteq U$

일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 (일반위상수학의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 엉성한 위상이다.

만약 $(X,d)$가 확장 유사 거리 공간이라면, 일반화 알렉산드로프 위상과 일반화 스콧 위상은 $X$의 일반적인 위상과 같다.틀:Rp 만약 $(X,d)$가 원순서 집합이라면 (즉, $d$의 치역이 $\{0,\mathrm{\infty }\}$라면), $(X,d)$의 일반화 알렉산드로프 위상은 알렉산드로프 위상과 같다.틀:Rp

연산

반대 공간

임의의 로비어 공간 $(X,d)$에 대하여, 그 반대 로비어 공간(反對Lawvere空間, 틀:Llang) $X^{\mathrm{op}}=(X,d^{\mathrm{op}})$을 다음과 같이 정의할 수 있다.틀:Rp

$d^{\mathrm{op}}(x,y)=d(y,x)\mathrm{\forall }x,y\in X$

이는 반대 범주의 개념의 특수한 경우이다.

대칭화

로비어 공간 $(X,d)$에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다.

$d^{\max (}x,y)=\max \{d(x,y),d(y,x)\}$

$d^{\text{avg}}(x,y)=\frac{1}{2}(d(x,y)+d(y,x))$

그렇다면, $(X,d^{\max })$와 $(X,d^{\text{avg}})$ 둘 다 확장 유사 거리 공간을 이룬다.

만약 $(X,d)$가 이미 확장 유사 거리 공간이라면 $(X,d)=(X,d^{\text{avg}})=(X,d^{\max })$이다.

상수배

로비어 공간 $(X,d)$ 및 음이 아닌 확장된 실수 $C\in [0,\mathrm{\infty }]$에 대하여, $(X,Cd)$ 역시 로비어 공간이다. (만약 $C=0$일 경우, 이는 비이산 공간이다. 만약 $C=\mathrm{\infty }$일 경우, $\mathrm{\infty }\cdot 0=0$으로 정의하며, 이는 원순서 집합이다.)

로비어 계량의 합성

집합 $X$ 위에 로비어 계량들의 족

$(d_i:X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]{)}_{i\in I}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\underset{i\in I}{\sup }{d}_i:X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]$

$\underset{i\in I}{\sup }{d}_i:(x,y)\mapsto \underset{i\in I}{\sup }{d}_i(x,y)$

역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 항등 함수에 대한 시작 구조의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 가산 개의 로비어 계량의 족

$(d_i:X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]{)}_{i\in I}$

$|I|\le {\mathrm{\aleph }}_0$

이 주어졌을 때,

$\sum _{i\in I}{d}_i:X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]$

$\sum _{i\in I}{d}_i:(x,y)\mapsto \sum _{i\in I}{d}_i(x,y)$

역시 로비어 계량을 이룬다. (특히, 만약 $I$가 유한 집합이라면, 평균 계량 $\sum _{i\in I}{d}_i/|I|$ 역시 로비어 계량이다.)

주어진 함수를 상계로 하는 최대 로비어 계량

임의의 집합 $X$ 및 임의의 함수

$f:X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합

$𝒟\subseteq [0,\mathrm{\infty }{]}^{X\times X}$

가

$d(x,y)\le f(x,y)\mathrm{\forall }x,y\in X$

를 만족시키는 로비어 계량 $d$들의 집합이라고 하자. ($d=0$이 로비어 계량이므로, 이는 항상 공집합이 아니다.) 그렇다면, 이는 최대 원소

$d^{\max }=\sup 𝒟=\max 𝒟$

$d^{\max }(x,y)=\underset{d\in 𝒟}{\sup }d(x,y)$

를 가지며, 이는 $f$를 상계로 하는 최대의 로비어 계량이다.

구체적으로, 임의의 집합 $X$ 및 함수

$f:X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]$

가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

$d_0(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& x=y\\ \mathrm{\infty }& x\ne y\end{array}$

$d_1(x,y)=f(x,y)$

$d_i(x_0,x_i)=\underset{x_1,\dots ,x_{i-1}\in X}{\inf }(f(x_0,x_1)+f(x_1,x_2)+\cdots +f(x_{i-1},x_i))(i=2,3,\dots )$

그렇다면, $f$에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다.

$d(x,y)=\underset{i\in \mathbb{N}}{\inf }{d}_i(x,y)$

몫공간

로비어 공간 $(X,d)$에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.틀:Rp

$x{\sim }_{0}y⟺d(x,y)=d(y,x)=0(x,y\in X)$

이에 대하여 몫집합

$X/{\sim }_0$

위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약 $X$가 유사 거리 공간이라면, $X/{\sim }_0$는 거리 공간을 이룬다.

마찬가지로, 로비어 공간 $(X,d)$에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

$x{\sim }_{\mathrm{\infty }}y⟺\max \{d(x,y),d(y,x)\}<\mathrm{\infty }(x,y\in X)$

이에 대한 몫집합

$X/{\sim }_{\mathrm{\infty }}$

은 대략 $X$의 “연결 성분”들의 집합으로 생각할 수 있다. $X/{\sim }_{\mathrm{\infty }}$ 위에는 자연스럽게 원순서

$[x{]}_{{\sim }_{\mathrm{\infty }}}\lesssim [y{]}_{{\sim }_{\mathrm{\infty }}}⟺d(x,y)<\mathrm{\infty }$

를 취할 수 있다. 만약 $X$가 원순서 집합이라면, $X/{\sim }_{\mathrm{\infty }}=X$이다.

분리합

임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 $(X_i,d_i{)}_{i\in I}$의 분리합(틀:Llang)은 집합으로서 분리합집합

$X=\underset{i\in I}{⨆}{X}_i$

이다. 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.

$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}{d}_i(x,y)& i=j\\ \mathrm{\infty }& i\ne j\end{array}(x\in X_i,y\in X_j)$

이 연산은 로비어 공간의 범주 $\mathrm{\infty }\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{t}$의 범주론적 쌍대곱을 이룬다.

곱

임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 $(X_i,d_i{)}_{i\in I}$의 곱은 집합으로서 곱집합

$X=\prod _{i\in I}{X}_i$

이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.

$d(x,y)=\underset{i\in I}{\sup }{d}_i(x_i,y_i)\mathrm{\forall }x,y\in X$

이 연산은 로비어 공간의 범주 $\mathrm{\infty }\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{t}$의 범주론적 곱을 이룬다.틀:Rp

시작 계량과 끝 계량

로비어 공간의 범주의 망각 함자 $\mathrm{\infty }\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{t}\to \mathrm{Set}$는 위상 함자이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다.

구체적으로, 임의의 집합 $X$ 및 로비어 공간들의 족 $(Y_i,d_i{)}_{i\in I}$ 및 함수의 족 $(f_i:X\to Y_i{)}_{i\in I}$가 주어졌을 때, $(f_i{)}_{i\in I}$로 유도되는, $X$ 위의 시작 로비어 계량(틀:Llang)은 다음과 같다.

$d_X(x,x^{\prime })=\underset{\in I}{\sup }{d}_i(f_i(x),f_i(x^{\prime }))$

마찬가지로, 임의의 집합 $X$ 및 로비어 공간들의 족 $(Y_i,d_i{)}_{i\in I}$ 및 함수의 족 $(f_i:Y_i\to X{)}_{i\in I}$가 주어졌을 때, $(f_i{)}_{i\in I}$로 유도되는, $X$ 위의 끝 로비어 계량(틀:Llang)은 함수

$f:X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]$

$f:(x,x^{\prime })\mapsto \underset{i\in I}{\inf }{d}_i(f_i(x),f_i(x^{\prime }))$

를 상계로 하는 최대 로비어 계량이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

길이 거리 공간 ⇒ 거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

범주론적 성질

로비어 공간의 범주 $\mathrm{\infty }\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{t}$가 주어졌을 때, 망각 함자

$\mathrm{\infty }\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{t}\to \mathrm{Set}$

는 위상 함자이다.틀:Rp 특히, 만약 집합 $X$ 위의 임의의 함수족

$(f_i:X\to Y_i{)}_{i\in I}$

이 주어졌으며 $(Y_i{)}_{i\in I}$들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 시작 로비어 계량(틀:Llang)을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 시작 위상과 유사하다. 마찬가지로, 집합 $X$로 가는 임의의 함수족

$(f_i:Y_i\to X{)}_{i\in I}$

이 주어졌으며 $(Y_i{)}_{i\in I}$들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 끝 로비어 계량(틀:Llang)을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 끝 위상과 유사하다.

또한, 위상 공간과 연속 함수의 범주로 가는 망각 함자

$\mathrm{\infty }\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{t}\to \mathrm{Top}$

가 존재하며, 이는 로비어 공간에 열린 공 위상을 대응시킨다.

위상 공간의 로비어 계량을 통한 표현

임의의 위상은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 $(X,𝒰)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, $X$ 위의 로비어 계량들의 집합 $(d_i{)}_{i\in I}$이 존재한다.틀:Rp

• $𝒰$는 항등 함수 $f_i:X\to (X,d_i)$들에 의하여 생성되는 시작 위상이다. (여기서 로비어 공간 $(X,d_i)$에는 열린 공 위상을 부여한다.)
• $|I|\le |𝒰|$이다.

구성:

위상 공간 $X$의 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, 다음을 정의하자.

$d_U(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& x\in ̸U\\ 0& x\in U\ni y\\ \mathrm{\infty }& x\in U\ni ̸y\end{array}$

이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 한원소 집합 $\{U\}$를 기저로 하는 위상, 즉

$\{\varnothing ,U,X\}$

이다.

이에 따라, 로비어 계량들의 집합 $\{d_U{\}}_{U\in 𝒰}$은 위 조건을 자명하게 만족시킨다.

역사와 어원

프랜시스 윌리엄 로비어가 도입하였다.

이 개념은 거리 공간의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리" $d(x,y)$는 사실 어떤 "상태" 또는 "위치" $x$에서 $y$로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다.

• $x$에서 $z$로 이동하는 데 드는 비용은 이 경로를 $x\to y\to z$와 같이 분해했을 때 $x\to y$ 비용과 $x\to z$ 비용의 합보다 같거나 적다. (예를 들어, 만약 $y$를 거치지 않는 지름길이 있을 경우 부등식이 성립한다.)
• 상태 $x$에서, 이동하지 않는 데 드는 비용은 0이다. 즉, $d(x,x)=0$이다.
• 상태 $x$에서 $y$로 꼭 이동할 수 있을 필요는 없다. 만약 $x\to y$ 전이가 불가능하다면 $d(x,y)=\mathrm{\infty }$이다.

간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’(틀:Llang)에서, 각 성분은 고전적 거리 공간의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다.

• 확장(擴張, 틀:Llang): 계량 함수의 값이 ∞일 수 있음을 뜻한다.
• 준(準, 틀:Llang): 계량 함수가 대칭적이지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, $d(x,y)\ne d(y,x)$일 수 있다.
• 유사(類似, 틀:Llang): 계량 함수가 분리공리를 만족시키지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, $x\ne y$이지만 $d(x,y)=0$일 수 있다.

예

모든 확장 유사 거리 공간은 로비어 공간이다.

시작 대상과 끝 대상

공집합 $\varnothing$ 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 시작 대상이다.

한원소 공간 $\{\bullet \}$ 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량($d(\bullet ,\bullet )=0$)이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 끝 대상이다.

원순서 집합

임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 주자.

$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& x\lesssim y\\ \mathrm{\infty }& x\lesssim ̸y\end{array}$

그렇다면 $(X,d)$는 로비어 공간을 이룬다.틀:Rp

외부 링크

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