T1 공간

틀:분리공리 일반위상수학에서 T₁ 공간(T₁空間, 틀:Llang)은 주어진 두 점에 대하여, 첫째를 포함하며 둘째를 포함하지 않는 열린집합이 존재하는 위상 공간이다. 이는 콜모고로프 공간보다 강하지만, 하우스도르프 공간보다 약한 개념이다. 간혹 프레셰 공간(Fréchet space)이라고도 하는데, 이 용어는 함수해석학에서 다루는, 무관한 개념인 프레셰 공간과 혼동될 수 있다.

정의

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 R₀ 공간이라고 한다.

• 임의의 $x,y\in X$에 대하여, 만약 $x\in U\ni ̸y$인 열린집합 $U$가 존재한다면, $x\in ̸V\ni y$인 열린집합 $V$가 존재한다.
• 임의의 열린집합 $U\subset X$에 대하여, $U=\bigcup _{C\in 𝒞}C$인 닫힌집합들의 집합 $𝒞\subset 𝒫(X)$이 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 T₁ 공간이라고 한다.

• 임의의 $x,y\in X$에 대하여, 만약 $x\ne y$라면, $x\in U\ni ̸y$인 열린집합 $U$가 존재한다.
• 콜모고로프 공간이며 R₀ 공간이다.
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{x\}$는 닫힌집합이다.
• 임의의 유한 집합 $S\subseteq X$는 닫힌집합이다.
• 임의의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여, $S$를 포함하는 모든 열린집합들의 교집합은 $S$와 같다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 T_D 공간이라고 한다.

• 임의의 부분 집합 $S\subseteq X$의 유도 집합은 닫힌집합이다.
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{x\}$의 유도 집합은 닫힌집합이다.
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{x\}=U\cap F$인 열린집합 $U$ 및 닫힌집합 $F$가 존재한다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 …	닫힌집합이어야 한다	열린집합이어야 한다	닫힌집합일 수 없다	열린집합일 수 없다	열린집합과 닫힌집합의 교집합이어야 한다
위상 공간의 종류	T1 공간	이산 공간	(특별한 이름이 없음)	자기 조밀 공간	TD 공간

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

하우스도르프 공간(T₂) ⊊ T₁ 공간 = (R₀ 공간 ∩ 콜모고로프 공간(T₀)) ⊊ T_D 공간 ⊊ 콜모고로프 공간(T₀)

차분한 공간과의 관계

차분한 공간과 T₁ 공간은 서로를 함의하지 않는다.

차분한 T_D 공간의 부분 집합은 차분한 공간이다. 그러나 이는 일반적인 차분한 공간에 대해서는 성립하지 않는다.

예

모든 알렉산드로프 공간은 T_D 공간이다.틀:Rp 특히, 모든 유한 콜모고로프 공간은 T_D 공간이다.

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
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