위상의 비교

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학과 범주론에서, 위상 함자를 통해 주어진 집합 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 완비 격자를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 섬세한 구조(纖細-構造, 틀:Llang) 또는 더 엉성한 구조(-構造, 틀:Llang)라고 한다.

정의

두 범주 $ℰ$, $ℬ$ 사이의 함자 $\mathrm{\Pi }:ℰ\to ℬ$가 주어졌다고 하자. 임의의 대상 $\hat{X}\in ℬ$에 대하여, 다음과 같은 범주 ${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})$를 생각할 수 있다.

• ${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})$의 대상은 $\mathrm{\Pi }(X)=\hat{X}$인 대상 $X\in ℰ$이다.
• ${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})$의 사상은 $\mathrm{\Pi }(f)={\mathrm{id}}_{\hat{X}}$인 사상 $f\in \mathrm{Mor}(ℰ)$이다.

만약 $\mathrm{\Pi }$가 충실한 함자라면, ${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})$는 얇은 범주이며, 이는 $\hat{X}$ 위에 존재할 수 있는 $ℰ$-구조들의 범주로 생각할 수 있다.

${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})$는 얇은 범주이므로, 그 위에 다음과 같은 원순서가 존재한다.

$X\lesssim X^{\prime }⟺\mathrm{\exists }f\in {\mathrm{hom}}_{{\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})}(X,X^{\prime })$

이 관계를 엉성함이라고 한다.틀:Rp 즉, 만약 ${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})$ 속에서 사상 $f:X\to X^{\prime }$가 존재한다면, $X^{\prime }$이 $X$보다 더 엉성한(틀:Llang) $ℰ$-구조이며, 반대로 $X$는 $X^{\prime }$보다 더 섬세한(틀:Llang) $ℰ$-구조이다.

이 정의는 특히 위상 함자 $\mathrm{\Pi }:ℰ\to \mathrm{Set}$에 대하여 적용된다.

${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})$에서 만약 최대 원소(즉, 가장 엉성한 $ℰ$-구조)가 존재한다면, 이를 $\hat{X}$ 위의 비이산 $ℰ$-구조(틀:Llang)라고 한다. 반대로, ${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_{\hat{X}})$에서 만약 최소 원소(즉, 가장 섬세한 $ℰ$-구조)가 존재한다면, 이를 $\hat{X}$ 위의 이산 $ℰ$-구조(틀:Llang)라고 한다.

성질

$\mathrm{\Pi }$가 위상 함자라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. 위상 함자에서는 또한 시작 구조와 끝 구조가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여, ${\mathrm{\Pi }}^{-1}({\mathrm{id}}_X)$는 완비 원격자를 이룬다.

예

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자

$U:\mathrm{Top}\to \mathrm{Set}$

는 위상 함자이며 따라서 충실한 함자이다. 따라서 이 경우 더 엉성한 위상과 더 섬세한 위상의 개념을 정의할 수 있다.

집합 $X$ 위의 두 위상 (열린집합의 족) $𝒰,{𝒰}^{\prime }\subseteq 𝒫(X)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• ${𝒰}^{\prime }$이 $𝒰$보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수 $(X,𝒰)\to (X,{𝒰}^{\prime })$이 연속 함수이다.
• $𝒰\supseteq {𝒰}^{\prime }$이다. 즉, 항등 함수 $(X,{𝒰}^{\prime })\to (X,𝒰)$가 열린 함수이다.

주어진 집합 위의 위상들은 완비 격자를 이룬다.

흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"(틀:Llang)이라는 용어를 사용하며, 반대로 해석학에서는 "강한/약한 위상"(틀:Llang)이라는 용어를 사용한다.

기저

보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 $\mathrm{TopBase}$를 생각하자.

• $\mathrm{TopBase}$의 원소 $(X,ℬ)$는 집합 $X$와 그 위의 기저 $ℬ$의 순서쌍이다.
• $\mathrm{TopBase}$의 사상 $f:(X,{ℬ}_X)\to (Y,{ℬ}_Y)$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  $\mathrm{\forall }ϵ\in {ℬ}_Y\mathrm{\forall }x\in f^{-1}(ϵ)\mathrm{\exists }\delta \in {ℬ}_Y:(x\in \delta \subseteq f^{-1}(ϵ))$

그렇다면 $\mathrm{Top}$은 $\mathrm{TopBase}$의 충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 기저를 정의할 수 있다. 집합 $X$ 위의 두 기저 $ℬ,{ℬ}^{\prime }\subseteq 𝒫(X)$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${ℬ}^{\prime }$이 $ℬ$보다 더 엉성하다.
• 임의의 $ϵ\in {ℬ}^{\prime }$ 및 $x\in ϵ$에 대하여, $x\in \delta \subseteq ϵ$인 $\delta \in ℬ$가 존재한다.
• ${ℬ}^{\prime }$에 의해 생성되는 위상 $\{\bigcup 𝒮:𝒮\subseteq {ℬ}^{\prime }\}$은 $ℬ$에 의해 생성되는 위상 $\{\bigcup 𝒮:𝒮\subseteq ℬ\}$보다 더 엉성하다.

주어진 집합 위의 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

부분 기저

보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 $\mathrm{TopSubbase}$를 생각하자.

• $\mathrm{TopSubbase}$의 원소 $(X,ℬ)$는 집합 $X$와 그 위의 임의의 집합족 $ℬ\subseteq 𝒫(X)$의 순서쌍이다. (이는 $X$의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.)
• $\mathrm{TopSubbase}$의 사상 $f:(X,{ℬ}_X)\to (Y,{ℬ}_Y)$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  $\mathrm{\forall }ϵ\in {ℬ}_Y\mathrm{\forall }x\in f^{-1}(ϵ)\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},{\delta }_1,\dots ,{\delta }_n\in {ℬ}_Y:(x\in {\delta }_1\cap {\delta }_2\cap \cdots \cap {\delta }_n\subseteq f^{-1}(ϵ))$

그렇다면 $\mathrm{TopBase}$는 $\mathrm{TopSubbase}$의 충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합 $X$ 위의 두 부분 기저 $ℬ,{ℬ}^{\prime }\subseteq 𝒫(X)$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${ℬ}^{\prime }$이 $ℬ$보다 더 엉성하다.
• 임의의 $ϵ\in {ℬ}^{\prime }$ 및 $x\in ϵ$에 대하여, $x\in {\delta }_1\cap {\delta }_2\cap \cdots \cap {\delta }_n\subseteq ϵ$인 자연수 $n\in \mathbb{N}$ 및 ${\delta }_1,\dots ,{\delta }_n\in ℬ$가 존재한다.
• ${ℬ}^{\prime }$에 의해 생성되는 위상 $\{\bigcup 𝒮:𝒮\subseteq \{\bigcap T:T\subseteq {ℬ}^{\prime },|T|<{\mathrm{\aleph }}_0\}\}$은 $ℬ$에 의해 생성되는 위상$\{\bigcup 𝒮:𝒮\subseteq \{\bigcap T:T\subseteq ℬ,|T|<{\mathrm{\aleph }}_0\}\}$보다 더 엉성하다.

주어진 집합 위의 부분 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

덮개와 유계형 집합

다음과 같은 구체적 범주 $\mathrm{Cover}$를 생각하자.

• $\mathrm{Cover}$의 대상 $(X,𝒞)$은 집합 $X$와 그 위의 덮개 $𝒞\subseteq 𝒫(X)$의 순서쌍이다.
• $\mathrm{Cover}$의 사상 $f:(X,{𝒞}_X)\to (Y,{𝒞}_Y)$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  $\mathrm{\forall }{C}_X\in {𝒞}_X\mathrm{\exists }{C}_Y\in {𝒞}_Y:f(C_X)\subseteq {𝒞}_Y$

이렇게 정의하였을 때, 같은 집합 $X$ 위의 두 덮개 $𝒞,{𝒞}^{\prime }\subseteq 𝒫(X)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${𝒞}^{\prime }$이 $𝒞$보다 더 엉성하다.
• ${𝒞}^{\prime }$은 $𝒞$의 세분이다.

유계형 집합의 범주 $\mathrm{BornSet}$은 $\mathrm{Cover}$의 충만한 부분 범주를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다.

필터

다음과 같은 범주 $\mathrm{FilterBase}$를 생각하자.

• $\mathrm{FilterBase}$의 대상 $(X,ℱ)$는 집합 $X$와 $𝒫(X)$ 위의 필터 기저 $ℱ\subseteq 𝒫(X)$이다.
• $\mathrm{FilterBase}$의 사상 $f:(X,{ℱ}_X)\to (Y,{ℱ}_Y)$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  $\mathrm{\forall }{F}_Y\in {ℱ}_Y:\mathrm{\exists }{F}_X\in {ℱ}_X:f^{-1}(F_Y)\supseteq F_X$

그렇다면, 집합 $X$ 위의 두 필터 기저 $ℱ,{ℱ}^{\prime }\subseteq 𝒫(X)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${ℱ}^{\prime }$이 $ℱ$보다 더 엉성하다.
• $\uparrow {ℱ}^{\prime }\subseteq \uparrow ℱ$이다. 여기서 $\uparrow$는 필터 기저로 생성되는 필터(즉, 상폐포)를 뜻한다.

가측 공간

가측 공간과 가측 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자

$U:\mathrm{Measble}\to \mathrm{Set}$

는 위상 함자이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 가측 공간 구조를 정의할 수 있다.

외부 링크

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