역사상

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 왼쪽 역사상(-逆寫像, 틀:Llang)과 오른쪽 역사상(-逆寫像, 틀:Llang)은 각각 왼쪽 또는 오른쪽에서 합성하였을 때 항등 사상이 되는 사상이다. 왼쪽 역사상 및 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 각각 분할 단사 사상(分割單射寫像, 틀:Llang)과 분할 전사 사상(分割全射寫像, 틀:Llang)이라고 한다.

정의

범주 $𝒞$ 의 두 사상

f : X \to Y

g : Y \to X

이 주어졌다고 하자. 만약 $g \circ f = {id}_{X}$ 가 성립할 경우, 이를 다음과 같이 표현한다.

$g$ 는 $f$ 의 왼쪽 역사상(-逆寫像, 틀:Llang) 또는 수축(收縮, 틀:Llang)이다.
$f$ 는 $g$ 의 오른쪽 역사상(-逆寫像, 틀:Llang) 또는 단면(斷面, 틀:Llang)이다.
만약 추가로 $f \circ g = {id}_{Y}$ 가 성립한다면 (즉, $g$ 가 $f$ 의 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상이라면), $g$ 를 $f$ 의 양쪽 역사상(兩-逆寫像,틀:Llang)이라고 한다.

여기서 "수축"/"단면"이라는 이름은 위상수학에서 유래하였다. 즉, 오른쪽 역사상은 위상 공간의 범주에서 올다발의 단면을 일반화한 것이다.

왼쪽 역사상을 갖는 사상을 분할 단사 사상(分割單射寫像, 틀:Llang)이라고 한다. 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 분할 전사 사상(分割全射寫像, 틀:Llang)이라고 한다. 양쪽 역사상을 갖는 사상을 동형 사상이라고 한다.

어떤 범주에서 모든 단사 사상이 분할 단사 사상이라면, 이 범주에서 선택 공리가 성립한다고 한다.

성질

함의 관계

이름과 같이, 모든 분할 단사 사상은 항상 단사 사상이며, 모든 분할 전사 사상은 항상 전사 사상이다.

증명:

$f : X \to Y$ , $g : Y \to X$ 가 $g \circ f = {id}_{X}$ 를 만족시킨다고 하자.

사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 $h, h^{'} : Z \to X$ 에 대하여, 만약 $f \circ h = f \circ h^{'}$ 이라면 $h = g \circ f \circ h = g \circ f \circ h^{'} = h^{'}$ 이다. 따라서 분할 단사 사상 $f$ 는 단사 사상이다.

마찬가지로, 사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 $h, h^{'} : Y \to Z$ 에 대하여, 만약 $h \circ g = h^{'} \circ g$ 라면 $h = h \circ g \circ f = h^{'} \circ g \circ f = h^{'}$ 이다. 따라서 분할 전사 사상 $f$ 는 전사 사상이다.

분할 단사 사상과 분할 전사 사상은 서로 쌍대 개념이다. 즉, 범주 $𝒞$ 에서의 분할 단사 사상은 그 반대 범주 $𝒞^{op}$ 에서의 분할 전사 사상이며, 그 역도 성립한다.

임의의 범주의 사상에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

단사 사상이며, 분할 전사 사상이다.
전사 사상이며, 분할 단사 사상이다.
동형 사상이다.

(그러나 단사 사상이자 전사 사상인 사상이 동형 사상일 필요는 없다.)

증명:

두 사상 $f : X \to Y$ , $g : Y \to X$ 가 주어졌으며, $g \circ f = {id}_{X}$ 라고 하자. 그렇다면, $f \circ g \circ f = {id}_{Y} \circ f$ 이며 $g \circ f \circ g = g \circ {id}_{Y}$ 이다.

만약 $f$ 가 전사 사상이라고 하면, $(f \circ g) \circ f = {id}_{Y} \circ f$ 이므로 $f \circ g = {id}_{Y}$ 이며, 따라서 $f$ 및 $g$ 는 서로 양쪽 역사상이다. 마찬가지로, 만약 $g$ 가 단사 사상이라고 하면, $g \circ (f \circ g) = g \circ {id}_{Y}$ 이므로 $f \circ g = {id}_{Y}$ 이며, 따라서 $f$ 및 $g$ 는 서로 양쪽 역사상이다.

유일성

주어진 사상의 왼쪽 역사상 또는 오른쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 그러나 양쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 항상 유일하다.

단사·사영 대상과의 관계

틀:본문 임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다.

예

집합

집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다.

분할 단사 사상은 공역이 공집합이거나 정의역이 공집합이 아닌 단사 함수이다.
전사 사상과 분할 전사 사상의 개념이 일치한다. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리와 동치이다.)

군

틀:본문 군과 군 준동형의 범주 $Grp$ 에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이며, 전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다. 이 범주에서, 분할 단사·전사 사상의 개념은 반직접곱과 깊은 관련을 갖는다.

구체적으로, 단사 군 준동형 $i : H ↪ G$ 가 분할 단사 사상일 필요충분조건은 다음과 같다.

$H$ 는 $i$ 에 의하여 $G$ 의 부분군을 이루며, $G ≅ N ⋊ H$ 인 정규 부분군 $N ⊲ G$ 이 존재한다. (여기서 $⋊$ 는 반직접곱을 뜻한다.)

마찬가지로, 전사 군 준동형 $q : G ↠ Q$ 가 분할 전사 사상이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

$G ≅ \ker q ⋊ Q$ 이다. (여기서 $⋊$ 는 반직접곱을 뜻한다.)

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 $Top$ 에서는 분할 단사 사상이 아닌 단사 사상이 존재하며, 분할 전사 사상이 아닌 전사 사상이 존재한다.

구체적으로, $Top$ 에서, 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이며, 전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이며, 동형 사상은 위상 동형이다. 전단사 함수이자 연속 함수이지만, 그 역함수가 연속 함수가 아니어서 위상 동형이 아닌 함수가 존재한다. 이러한 함수는 단사 사상이자 전사 사상이지만, 분할 단사 사상이 아니며 분할 전사 사상도 아니다.

원순서 집합

원순서 집합 $(X, ≲)$ 을 작은 범주로 간주하였을 때, 모든 분할 단사 사상 및 분할 전사 사상은 동형 사상이다.

아벨 범주

틀:본문 아벨 범주에서 사상 $f : A \to B$ 이 단사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다.

0 \to A \overset{f}{\to} B \to coker f \to 0

(여기서 $0$ 은 아벨 범주의 영 대상이며, $coker$ 는 여핵을 뜻한다.) 이 경우, $f$ 가 분할 단사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.

마찬가지로, 아벨 범주에서 사상 $g : B \to C$ 이 전사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다.

0 \to \ker g \to B \overset{g}{\to} C \to 0

(여기서 $0$ 은 아벨 범주의 영 대상이며, $\ker$ 는 핵을 뜻한다.) 이 경우, $g$ 가 분할 전사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.

참고 문헌

틀:서적 인용

외부 링크

역사상

목차

정의

성질

함의 관계

유일성

단사·사영 대상과의 관계

예

집합

군

위상 공간

원순서 집합

아벨 범주

참고 문헌

외부 링크

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역사상

정의

성질

함의 관계

유일성

단사·사영 대상과의 관계

예

집합

군

위상 공간

원순서 집합

아벨 범주

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