전사 사상

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 범주론에서 전사 사상(全射寫像, 틀:Llang)은 두 사상의 등식에서 오른쪽에서 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 단사 사상의 반대 개념이다.

정의

범주 $𝒞$ 의 사상 $f : X \to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 전사 사상이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g_{1}, g_{2} : Y \to Z$ 에 대하여, 만약 $g_{1} \circ f = g_{2} \circ f$ 라면 $g_{1} = g_{2}$ 이다.
$X \overset{f}{\to} Y \overset{g_{1}}{\underset{g_{2}}{⇉}} Z$

정규 전사 사상

틀:본문 영 사상을 갖는 범주 $𝒞$ 에서, 어떤 사상 $f : X \to Y$ 의 여핵 $coker f : K \to X$ 으로 나타낼 수 있는 사상을 정규 전사 사상(틀:Llang)이라고 한다. 정규 전사 사상은 (쌍대극한이므로) 항상 전사 사상이다.

강한 전사 사상

범주 $𝒞$ 에서, 강한 전사 사상(強-全射寫像, 틀:Llang)은 모든 단사 사상에 대하여 왼쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상 $π : X \to Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형

\begin{matrix} X & \overset{π}{\to} & Y \\ ↓ & ↓ \\ A & \to_{i}^{} & B \end{matrix}

에서

i

가 단사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상

Y \to A

가 존재한다.

\begin{matrix} X & \overset{π}{\to} & Y \\ ↓ & \exists! ↙ & ↓ \\ A & \to_{i}^{} & B \end{matrix}

극단 전사 사상

범주 $𝒞$ 의 전사 사상 $f : X \to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 극단 전사 사상(極端全射寫像, 틀:Llang)이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g : X \to Z$ 및 단사 사상 $h : Z \to Y$ 에 대하여, 만약 $f = h \circ g$ 라면 $h$ 는 동형 사상이다.
$\begin{matrix} X \\ g ↓ & ↘ f \\ Z & \to_{h}^{} & Y \end{matrix}$

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 $f : X \to Y$ 및 그 오른쪽 역사상 $s : Y \to X$ 이 주어졌을 때 $f = eq {s \circ f, {id}_{X}}$ 이기 때문이다.

요네다 매장

요네다 매장을 통하여, 전사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 $𝒞$ 속의 사상 $f : X \to Y$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 전사 사상이다.
임의의 대상 $Z$ 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 $(\circ f) : {hom}_{𝒞} (Y, Z) \to {hom}_{𝒞} (X, Z)$ 는 단사 함수이다.
쌍대 준층 토포스의 반대 범주 $PSh (𝒞^{op})^{op}$ 로 가는 요네다 매장 함자 ${hom}_{𝒞} : 𝒞 \to PSh (𝒞^{op})^{op}$ 아래서, $f$ 의 상 $(f \circ) : {hom}_{𝒞} (-, X) \to {hom}_{𝒞} (-, Y)$ 은 쌍대 준층 토포스 $PSh (𝒞^{op})$ 에서의 단사 사상 (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 $PSh (𝒞^{op})^{op}$ 에서의 전사 사상)이다.

반대 범주

범주 $𝒞$ 의 전사 사상은 그 반대 범주 $𝒞^{op}$ 의 단사 사상이다.

예

구체적 범주에서, 함수로서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.

집합과 함수의 범주 $Set$ 에서의 전사 사상은 전사 함수이다.
군과 군 준동형의 범주 $Grp$ 에서의 전사 사상은 전사 군 준동형이다.
체 $K$ 에 대하여, $K$ 위의 벡터 공간과 선형 변환들의 범주 $K -Vect$ 에서의 전사 사상은 전사 선형 변환이다.
위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 전사 사상은 전사 연속 함수이다.

전사 함수가 아닌 전사 사상이 존재하는 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.

모노이드의 범주 $Mon$ 에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수 $ℕ \to ℤ$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드 $M$ 의 군화 (망각 함자의 왼쪽 수반 함자) $G$ 가 주어졌을 때, 포함 모노이드 준동형 $M \to G$ 는 항상 전사 사상이자 단사 사상이자 단사 함수이지만, ( $M$ 이 군이 아니라면) 전사 함수가 아니다.
환의 범주 $Ring$ 에서, 포함 함수 $ℤ \to ℚ$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
하우스도르프 공간의 범주 $Haus$ 에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다. 예를 들어, 포함 함수 $ℚ \to ℝ$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.

집합의 범주

집합과 함수의 토포스 $Set$ 에서는 다음이 성립한다.

전사 사상은 전사 함수이다.
전사 사상 · 정칙 전사 사상 · 유효 전사 사상의 개념이 일치한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

군의 범주

군과 군 준동형의 범주 $Grp$ 에서는 다음이 성립한다.

전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다.
모든 전사 사상은 정규 전사 사상이다.

위상 공간의 범주

위상 공간과 연속 함수의 범주 $Top$ 에서는 다음이 성립한다.

전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이다.
정칙 전사 사상은 몫사상이다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 전사 사상을 정의할 수 없다.)

같이 보기

단사 사상

참고 문헌

틀:서적 인용

외부 링크

전사 사상

목차

정의

정규 전사 사상

강한 전사 사상

극단 전사 사상

성질

요네다 매장

반대 범주

예

집합의 범주

군의 범주

위상 공간의 범주

같이 보기

참고 문헌

외부 링크

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전사 사상

정의

정규 전사 사상

강한 전사 사상

극단 전사 사상

성질

요네다 매장

반대 범주

예

집합의 범주

군의 범주

위상 공간의 범주

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