W-대수

틀:위키데이터 속성 추적 수학과 등각 장론에서 W-대수(W-代數, 틀:Llang)는 2차원 등각 장론의 무질량 고차 스핀 정칙장에 의해 생성되는 대칭이다.틀:Rp 비라소로 대수를 일반화한다.

정의

스핀 2

스핀 2의 W-대수 $W_2$는 비라소로 대수라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 $T(z)$에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

$T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+\frac{1}{2}c{z}^{-4}$

여기서 $c$는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하가 된다.

스핀 3

스핀 3의 W-대수 $W_3$는 알렉산드르 자몰롯치코프가 1985년에 발견하였다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 $T(z)$(에너지-운동량 텐서)과 스핀 3의 정칙 1차장 $W(z)$를 가지며, 이들 사이의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

$T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+\frac{1}{2}c{z}^{-4}$

$T(z+w)W(w)=z^{-1}\partial W(w)+3z^{-2}W(w)$

$W(z)W(w)=\frac{16}{22+5c}(z^{-1}\partial \mathrm{\Lambda }+2z^{-2}\mathrm{\Lambda })+\frac{1}{15}(z^{-1}{\partial }^{3}T(w)+\frac{9}{2}{z}^{-2}{\partial }^{2}T(w)+15z^{-3}\partial T(w)+30z^{-4}T(w))+\frac{1}{3}c{z}^{-6}$

여기서 $\mathrm{\Lambda }$는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다.

$\mathrm{\Lambda }(z)=:TT:(z)-\frac{3}{10}{\partial }^{2}T(z)$

여기서 $:\cdots :$는 표준 순서를 나타낸다.

$W_3$에 대해서도 일련의 유니터리 최소 모형을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.틀:Rp

$c=2(1-\frac{12}{(k+3)(k+4)})$

$k=1,2,3,\dots$

특히, $k=1$인 경우($c=4/5$)는 임계 3상태 포츠 모형으로, 이는 $m=5$인 비라소로 최소 모형과 같다.

일반적인 스핀

일반적으로, 모든 $N\ge 2$에 대하여, 스핀-N W-대수 $W_N$이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개는 매우 복잡하다.

W-대수 $W_N$은 총 $N-1$개의 정칙 연산자들 $T,W^{(3)},W^{(4)},\dots ,W^{(N)}$을 포함한다. 이들의 스핀은 각각 $2,3,\dots ,N$이며, $T$와 $W^{(3)}$는 1차 연산자이지만 $W^{(4)},W^{(5)},\dots$는 준1차(quasiprimary) 연산자이다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다.

$T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+\frac{1}{2}c{z}^{-4}$

$T(z+w)W^{(s)}(w)\sim z^{-1}\partial W^{(s)}(w)+s{z}^{-2}{W}^{(s)}(w)+W^{(s-2)}(w)+W^{(s-4)}(w)+\cdots (s=3,\dots ,N)$

$W^{(s)}(z+w)W^{(s^{\prime })}(w)\sim W^{(s+s^{\prime }-2)}+W^{(s+s^{\prime }-4)}+\cdots +c{\delta }_{s-s^{\prime }}$

여기서, 마지막 두 공식에서는 상수 계수나 $z^{-k}$ 및 ${\partial }^k$ 등을 생략하였다.

무한 스핀 W-대수

유한한 $N$에 대한 $W_N$ 말고도, 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 $W_{\mathrm{\infty }}$와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 $W_{1+\mathrm{\infty }}$가 존재한다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용