2차원 𝒩=1 초등각 장론

틀:위키데이터 속성 추적 양자장론에서, 2차원 $𝒩=1$ 초등각 장론(二次元$𝒩=1$超等角場論, 틀:Llang)은 하나의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론에서 중요한 역할을 한다.

𝒩=1 초등각 대수

2차원 $𝒩=1$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

• $G_r$. 이는 $h=3/2$ 비라소로 대수 1차장인 초전류(틀:Llang) $Q(z)$의 모드 전개이다. 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건의 경우 $r\in \mathbb{Z}+1/2$이며, 라몽(R) 경계 조건의 경우 $r\in \mathbb{Z}$이다.
• $L_n$. 이는 $h=2$ 비라소로 대수 준1차장인 에너지-운동량 텐서 $T(z)$의 모드 전개이며, $n\in \mathbb{Z}$이다.
• $c$는 중심 원소이며, 중심 전하(틀:Llang)라고 한다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.

c는 모든 원소와 가환

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m){\delta }_{m+n,0}$

$[L_m,G_r]=(m/2-r)G_{r+m}$

$\{G_r,G_s\}=2L_{r+s}+\frac{c}{3}(r^2-1/4){\delta }_{r+s,0}$

이 대수는 다음과 같은 $\mathbb{Z}/2$ R대칭을 갖는다.

$L_m\mapsto L_m$

$G_r\mapsto -G_r$

$c\mapsto c$

대역적 대수

NS 대수에서, $L_0$, $L_{\pm 1}$, $G_{\pm 1/2}$는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭의 리 초대수이다.

R 대수에서, $L_0$, $G_0$, $c$는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

$[L_0,G_0]=[L_0,L_0]=0$

$\{G_0,G_0\}=2(L_0-c/24)$

표현

비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, $𝒩=1$ 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, 틀:Llang) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다.틀:Rp틀:Rp 초1차장은 다음을 만족시키는 상태이다.

$L_n|\varphi ⟩=G_r=0\mathrm{\forall }n,r>0$

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

$L_{-n_1}{L}_{-n_2}\cdots L_{-n_k}{G}_{-r_1}{G}_{-r_2}\cdots G_{-r_p}|\varphi ⟩(0<n_1\le n_2\le \cdots \le n_k,0<r_1<r_2<\cdots <r_p$

여기서 $r_i<r_{i+1}$인 것은

$G_r^2=L_{2r}-\frac{c}{24}{\delta }_{r,0}$

이기 때문이다.

라몽 경계 조건에서 $G_0$의 경우,

$G_0^2=L_0-c/24$

이므로, 무게가 $h$인 비라소로 1차장을

$G_0|h⟩=\pm \sqrt{h-c/24}|h⟩$

가 되게 대각화할 수 있다.

유니터리 표현의 경우, 가능한 무게들은 다음과 같다.틀:Rp

• $c\ge 3/2$인 경우: $h\ge 0$ (NS), $h\ge c/24$ (R)
• $0<c<3/2$인 경우:

$c_k=\frac{3}{2}-\frac{12}{m(m+2)}$

$h_{r,s}=\frac{(r(m+2)-sm{)}^2-4}{8m(m+2)}+\{\begin{array}{cc}0& \text{NS}\\ 1/16& \text{R}\end{array}(1\le r\le m-1,1\le s\le m+1)$

후자의 경우는 최소 모형에 등장한다.

예

$c<3/2$인 유니터리 $𝒩=1$ 초등각 장론들은 완전히 분류되었고, 이들을 최소 모형이라고 한다.

자유 마요라나-바일 페르미온 $\psi$($(h,\overline{h})=(1/2,0),(0,1/2)$)과 자유 실수 보손 $\partial \varphi$ ($(h,\hslash )=(1,0),(0,1)$)으로 구성된 자유 장론은 $c=3/2$인 $𝒩=(1,1)$ 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 비라소로 1차장들은 다음과 같다.

기호	무게 $h$	설명
$1$	0	진공
$Q=\psi \partial \varphi$	3/2	초전류 (1에 $G_{-3/2}$를 가하여 얻음)
$\psi$	½	페르미온
$\partial \varphi$	1	보손 ($\psi$에 $G_{-1/2}$를 가하여 얻음)

즉, 두 개의 초1차장 $1$, $\psi$를 갖는다.

응용

초끈 이론에서, 초끈의 세계면 이론은 $𝒩=(1,1)$ 초등각 장론 (2종 초끈) 또는 $𝒩=(1,0)$ 초등각 장론 (잡종 끈)을 이룬다.

같이 보기

• 2차원 𝒩=2 초등각 장론
• 2차원 𝒩=4 초등각 장론
• 끈 이론
• 2차원 등각 장론
• 초대칭
• 최소 모형 (등각 장론)