람다 환

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학과 대수적 위상수학에서 람다 환(λ環, 틀:Llang)은 벡터 공간의 외대수 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 가환환이다.

정의

다항식 P_n, P_m,n

기본 대칭 다항식

$e_i\in \mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]\mathrm{\forall }i\in \{0,1,\dots ,n\}$

$e_i(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_i\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_j}$

을 정의하자.

다항식

$P_n\in \mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n]\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

$P_{m,n}\in \mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_{mn}]\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N}$

은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.틀:Rp

$\sum _n{P}_n(e_1(\overrightarrow{x}),\dots ,e_n(\overrightarrow{x}),e_1(\overrightarrow{y}),\dots ,e_n(\overrightarrow{y}))t^n=\prod _{i,j=1}^n(1+x_i{y}_{j}t)\in \mathbb{Z}[t,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}]$

$\sum _m{P}_{m,n}(x_1,\dots ,x_{mn})t^m=\prod _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_n\le mn}(1+x_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_n}t)\in \mathbb{Z}[t,x_1,\dots ,x_{mn}]$

여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다.

$\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

$\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$

람다 환

람다 환은 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp

• 가환환 $R$
• 각 자연수(음이 아닌 정수) $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 함수 ${\lambda }^n:R\to R$. 이들을 $n$차 람다 연산(틀:Llang)이라고 한다.

이 함수 ${\lambda }^n$들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

${\lambda }^0(r)=1\mathrm{\forall }r\in R$

${\lambda }^1(r)=r\mathrm{\forall }r\in R$

${\lambda }^n(1)=0\mathrm{\forall }n\ge 2$

(합의 람다 연산) ${\lambda }^n(r+s)=\sum _{i+j=n}{\lambda }^i(r){\lambda }^j(s)\mathrm{\forall }r,s\in R,n\in \mathbb{N}$

(곱의 람다 연산) ${\lambda }^n(rs)=P_n({\lambda }^1(r),\dots ,{\lambda }^n(r),{\lambda }^1(s),\dots ,{\lambda }^n(s))\mathrm{\forall }r,s\in R,n\in \mathbb{N}$

(람다 연산의 합성) ${\lambda }^m({\lambda }^n(r))=P_{m,n}({\lambda }^1(r),\dots ,{\lambda }^{mn}(r))\mathrm{\forall }r\in Rn\in \mathbb{N}$

람다 환의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 람다 환 $R$, $R^{\prime }$ 사이의 준동형은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, 환 준동형 $f:R\to R^{\prime }$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.틀:Rp틀:Rp

$f({\lambda }^n(r))={\lambda }^n(f(r))\mathrm{\forall }r\in R,n\in \mathbb{N}$

람다 환과 람다 환 준동형은 범주 $\lambda \text{-Ring}$를 이룬다.

애덤스 연산

코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산을 위상 K군으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.틀:Rp

람다 환 $R$에 대하여, 람다 연산의 생성 함수를 정의하자.틀:Rp틀:Rp

${\lambda }_t(r)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^i(r)t^i\in R[[t]]$

그렇다면, $R$ 위의 애덤스 연산

${\mathrm{\Psi }}^n:R\to R\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

${\mathrm{\Psi }}_t(r)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}^i(r)t^i\in R[[t]]$

은 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{\Psi }}_t(r)=-t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln ({\lambda }_{-t}(r))\mathrm{\forall }r\in R$

즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.

성질

람다 환 $R$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• ${\lambda }_t:(R,+)\to R[[t]{]}^{\times }$는 아벨 군의 준동형을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.틀:Rp

  ${\lambda }_t(r+s)={\lambda }_t(r){\lambda }_t(s)\mathrm{\forall }r,s\in R$

  ${\lambda }_t(0)=1$

  ${\lambda }_t(-r)={\lambda }_t(r{)}^{-1}\mathrm{\forall }r\in R$

• 정수 $n\in \mathbb{Z}$에 대하여, ${\lambda }_t(n)=(1+t{)}^n$이다.

범주론적 성질

람다 환의 범주에서 가환환의 범주 $\mathrm{CRing}$로 가는 망각 함자

$F:\lambda \text{-Ring}\to \mathrm{CRing}$

는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.틀:Rp

$S⊣F⊣\mathrm{\Lambda }$

여기서

• 함자 $S::\mathrm{CRing}\to \lambda \text{-Ring}$는 자유 람다 환(틀:Llang) 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다.
• 함자 $\mathrm{\Lambda }:\mathrm{CRing}\to \lambda \text{-Ring}$는 가환환 $R$를 $1+xR[[x]]$ 위의 람다 환 구조로 대응시킨다.

예

이항환

다음 두 조건을 만족시키는 가환환 $R$를 이항환(二項環, 틀:Llang)이라고 한다.

• 덧셈군 $(R,+)$의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 $\iota :R\to R{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$는 단사 함수이다.
• 모든 이항 계수 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{n})(r\in R)$를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 $r\in R$ 및 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $\iota (s)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{n})=r(r-1)\cdots (r-n+1)/n!\in R{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$가 되는 $s\in R$가 (유일하게) 존재한다.

이항환 $R$ 위에 ${\lambda }^n(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n})$을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.틀:Rp 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인틀:Rp) 정수환 $\mathbb{Z}\cong {\mathrm{K}}^0(\{\bullet \})$는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.틀:Rp

이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.

비트 벡터

틀:본문 가환환 $R$ 위의 형식적 멱급수환 $R[[x]]$ 속의, $x^0$항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합

$\mathrm{\Lambda }(R)=1+xR[[x]]\subseteq R[[x]]$

을 생각하자. 이는 $R[[x]]$-곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

$\mathrm{\Lambda }(R)$ 위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.틀:Rp틀:Rp

• $\mathrm{\Lambda }(R)$의 덧셈은 $R[[x]]$의 곱셈이다.
• $\mathrm{\Lambda }(R)$의 곱셈은 다음과 같다.틀:Rp

  $(1+r_{1}x+r_2{x}^2+\cdots )\cdot (1+s_{1}x+s_2{x}^2+\cdots )=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(r_1,\dots ,r_n,s_1,\dots ,s_n)x^n$

• $\mathrm{\Lambda }(R)$의 람다 연산은 다음과 같다.틀:Rp

  ${\lambda }^n(1+r_{1}x+r_2{x}^2+\cdots )=1+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_{m,n}(r_1,\dots ,r_{mn})t^m$

이 환은 $R$ 계수의 (큰) 비트 벡터 환 $\mathrm{WittVector}(R)$과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로 $R^{{\mathbb{Z}}^{+}}$ 위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우

$\mathrm{WittVector}(R)\to \mathrm{\Lambda }(R)$

$(x_1,x_2,\dots )\mapsto \frac{1}{(1-x_{1}t)(1-x_2{t}^2)\cdots }\in ℝ[[t]]$

는 환의 동형을 정의한다.틀:Rp틀:Rp 이를 아르틴-하세 지수 함수(틀:Llang)라고 한다.

이는 함자

$\mathrm{\Lambda }:\mathrm{CRing}\to \lambda \text{-Ring}$

를 정의하며, 이는 망각 함자

$F:\lambda \text{-Ring}\to \mathrm{CRing}$

의 오른쪽 수반 함자이다.

$F⊣\mathrm{\Lambda }$

대칭 다항식 환

가산 무한 개의 변수 $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots )$의 형식적 멱급수환 $Z[[\overrightarrow{x}]]$을 생각하자. $Z[[\overrightarrow{x}]]$의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 $x_i$들의 곱이다.

가산 무한 개의 변수 $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots )$의 대칭 다항식 $p\in Z[[\overrightarrow{x}]]$은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.틀:Rp틀:Rp

• 임의의 순열 $\sigma \in \mathrm{Sym}({\mathbb{Z}}^{+})$에 대하여 $p(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots )=p(x_1,x_2,\dots )$이다. (여기서 $\mathrm{Sym}({\mathbb{Z}}^{+})$는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.)
• $p$에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다).

대칭 다항식들의 집합은 $\mathbb{Z}[[\overrightarrow{x}]]$의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식

$e_i(\overrightarrow{x})=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_i}{x}_{j_1}{x}_{j_2}\cdots x_{j_i}\in \mathbb{Z}[[\overrightarrow{x}]]$

들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 $\mathbb{Z}[e_0(\overrightarrow{x}),e_1(\overrightarrow{x}),\dots ,]$로 표기할 수 있다.

그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.틀:Rp

${\lambda }^m:e_n(\overrightarrow{x})\mapsto P_{m,n}(e_1(\overrightarrow{x}),\dots ,e_{mn}(\overrightarrow{x}))$

그렇다면, $\mathbb{Z}[e_1(\overrightarrow{x}),\dots ,e_n(\overrightarrow{x})]$는 1변수 정수 계수 다항식환 $\mathbb{Z}[e]$ 위의 자유 람다 환이다.틀:Rp틀:Rp 즉, 자유 람다 환 함자 $S:\mathrm{CRing}\to \lambda \text{-Ring}$ 함자 아래 $\mathbb{Z}[e]$의 상이다. 또한, $S$ 아래 임의의 환 준동형

$f:\mathbb{Z}[e]\to R$

$f:e\mapsto f(e)\in R$

의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.

$Sf:\mathbb{Z}[e_1(\overrightarrow{x}),\dots ,e_n(\overrightarrow{x})]\to R$

$Sf:e_n\mapsto {\lambda }^n(f(e))$

위상 K이론

파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 위상 K군 ${\mathrm{K}}_K^0(X)$는 람다 환을 이룬다.틀:Rp 이 경우 ${\lambda }^n$은 벡터 다발 위의 외대수 ${\lambda }^n[E]=[{\mathrm{\Lambda }}^n(E;K)]$이다.

표현환

유한군 $G$ 위의 체 $K$ 계수 표현환 $\mathrm{Repr}(G;K)$ (군의 유한 차원 $K$-벡터 공간 표현들의 반환의 그로텐디크 구성)은 람다 환을 이룬다.틀:Rp 이 경우, ${\lambda }^n$은 군의 표현의 외대수이다.

$\lambda [r-r^{\prime }]=\lambda (r^{\wedge n}-r{\text{'}}^{\wedge n})(r:G\to V,r^{\prime }:G\to V^{\prime },r^{\wedge n}:G\to {\mathrm{\Lambda }}^{n}V,r{\text{'}}^{\wedge n}:G\to {\mathrm{\Lambda }}^{n}V$

역사

알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.틀:Rp

역사적으로, $P_n$ 및 $P_{m,n}$으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(틀:Llang)으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.틀:Rp

같이 보기

• 천 특성류
• 대칭 함수
• K이론

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용