기본 대칭 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서, 기본 대칭 다항식(基本對稱多項式, 틀:Llang)은 주어진 차수에 대하여, 이 차수의 모든 가능한 항들을 (계수 1로서) 정확히 하나씩 포함하는 다변수 대칭 다항식이다. 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들로 유일하게 구성된다.

정의

차수 $k\in \mathbb{N}$에 대하여, $n$개의 변수 $x_1,\dots ,x_n$에 대한 $k$차 기본 대칭 다항식은 다음과 같은 대칭 다항식이다.

$e_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}{x}_{i_1}\cdots x_{i_k}\in \mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$

특히, $k>n$이라면 $e_k(x_1,\dots ,x_n)=0$이다. 즉, 0이 아닌 기본 대칭 다항식은 $e_0,\dots ,e_n$이다. (항상 $e_0(x_1,\dots ,x_n)=1$이다.)

성질

임의의 가환환 $K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $n$개의 변수에 대한 대칭 다항식의 가환환

$K[x_1,\dots ,x_n{]}^{\mathrm{Sym}(n)}=\{p\in K[x_1,\dots ,x_n]:\mathrm{\forall }\sigma \in \mathrm{Sym}(n):p(x_1,\dots ,x_n)=p(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})\}$

을 정의할 수 있다. 이 경우, 기본 대칭 다항식을 통한 환 준동형

$K[y_1,\dots ,y_n]\to K[x_1,\dots ,x_n{]}^{\mathrm{Sym}(n)}$

$y_i\mapsto e_i(x_1,\dots ,x_n)$

을 생각할 수 있다. 이 환 준동형은 항상 가환환의 동형 사상이다.

다시 말해, 임의의 대칭 다항식

$p\in K[x_1,\dots ,x_n{]}^{\mathrm{Sym}(n)}$

에 대하여,

$p(x_1,\dots ,x_n)=q(e_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,e_n(x_1,\dots ,x_n))$

이 되는 다항식 $q\in K[y_1,\dots ,y_n]$이 유일하게 존재한다.

예

낮은 값의 $n$에 대한 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.

$n=1$

$e_0(x)=1$

$e_1(x)=x$

$n=2$

$e_0(x,y)=1$

$e_1(x,y)=x+y$

$e_2(x,y)=xy$

$n=3$

$e_0(x)=1$

$e_1(x,y,z)=x+y+z$

$e_2(x,y,z)=xy+yz+xz$

$e_3(x,y,z)=xyz$

$n=4$

$e_0(x,y,z,w)=1$

$e_1(x,y,z,w)=x+y+z+w$

$e_2(x,y,z,w)=xy+yz+zw+wx+xz+yw$

$e_3(x,y,z,w)=xyz+yzw+zwx+wxy$

$e_4(x,y,z,w)=xyzw$

같이 보기

• 대칭 다항식
• 뉴턴 항등식
• 뉴턴의 부등식
• 매클로린의 부등식
• 대칭 함수
• 표현론 (수학)

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:수학노트
• 틀:Groupprops
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki
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