표현환

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 표현환(表現環, 틀:Llang)은 어떤 리 군의 유한 차원 표현들로 생성되는 그로텐디크 환이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 리 군 $G$ (특히, 모든 유한군은 이산 공간으로서 콤팩트 리 군을 이룬다)
• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ (실수체 또는 복소수체)

그렇다면, $G$의 매끄러운 유한 차원 표현

$G\to \mathrm{GL}(V;𝕂)$

들의 동치류들의 집합을 생각하자. (이는 항상 가산 집합이다.) 이는 텐서곱과 직합을 통하여 가환 반환을 이룬다. 그 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 그 곱셈 항등원은 상수 함수인 자명한 1차원 표현

$G\to \mathrm{GL}(1;𝕂)$

$g\mapsto 1$IHÉS

이다.

따라서, 이 반환의 그로텐디크 환

$\mathrm{R}(G;𝕂)$

을 취할 수 있다. 이를 $G$의 $𝕂$계수 표현환이라고 한다. $𝕂=ℝ$일 때 이 가환환을 $\mathrm{RO}(G)$라고 하며, $𝕂=ℂ$일 때 이 가환환을 $\mathrm{RU}(G)$라고 한다.

사원수의 경우

위와 마찬가지로, $𝕂=ℍ$(사원수의 나눗셈환)인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 표현의 직합은 잘 정의되지만, 사원수의 비가환성으로 인하여, 표현의 텐서곱을 일반적으로 취할 수 없다. 따라서 이 경우 얻어지는 아벨 군 $\mathrm{RSp}(G)=\mathrm{R}(G;ℍ)$은 일반적으로 가환환의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로, $\mathrm{RSp}(G)$는 가환환 $\mathrm{RO}(G)$ 위의 가군을 이룬다.

성질

표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 환 준동형

${\dim }_{ℂ}:\mathrm{RU}(G)\to \mathbb{Z}$

${\dim }_{ℝ}:\mathrm{RO}(G)\to \mathbb{Z}$

이 존재한다.

$\mathrm{RU}(G)$ 위에는 복소수 켤레 사상에 따라서 자기 동형

$(-{)}^{*}:\mathrm{RU}(G)\to \mathrm{RU}(G)$

이 존재한다. 이는 등급을 보존하는 전단사 환 준동형이다. 마찬가지로, $\mathrm{RSp}(G)$ 위에는

$(-{)}^{*}:\mathrm{RSp}(G)\to \mathrm{RSp}(G)$

가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 군 준동형이다.

또한, 복소화에 따라 환 준동형

$(-{)}^{ℂ}:\mathrm{RO}(G)\to \mathrm{RU}(G)$

$(-{)}^{ℍ}:\mathrm{RO}(G)\to \mathrm{RSp}(G)$

이 존재한다. 반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라서 덧셈군의 군 준동형

$\mathrm{RU}(G)\to \mathrm{RO}(G)$

$\mathrm{RSp}(G)\to \mathrm{RO}(G)$

이 존재한다. $\mathrm{RU}(G)\to \mathrm{RO}(G)$는 유사환의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로, 환 준동형을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계 $ℂ\hookrightarrow ℍ$의 모듈러스 공간은 ${𝕊}^2=\{x\in ℍ:\overline{x}=-x,\Vert x\Vert =1\}$이므로, 이에 따라 망각 사상

$\mathrm{RSp}(G)\times {𝕊}^2\to \mathrm{RU}(G)$

이 존재한다.

외부 자기 동형군 $\mathrm{Out}(G)$은 $\mathrm{RU}(G)$ 및 $\mathrm{RO}(G)$ 위에 환의 자기 동형으로 작용한다.

함자성

$H$가 콤팩트 리 군 $G$의 닫힌집합 부분군일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 환 준동형이 유도된다.

${\mathrm{res}}_H^G:\mathrm{RU}(G)\to \mathrm{RU}(H)$

${\mathrm{res}}_H^G:\mathrm{RO}(G)\to \mathrm{RO}(H)$

이에 따라, $\mathrm{RU}(H)$는 $\mathrm{RU}(G)$ 위의 유한 생성 가군을 이루며,틀:Rp 마찬가지로 $\mathrm{RO}(G)$도 $\mathrm{RO}(H)$ 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

연결 콤팩트 리 군의 경우

$G$가 연결 콤팩트 리 군이라고 하고, 그 극대 원환면

$T\le G$

및 이에 대한 바일 군

$\mathrm{Weyl}(G,T)\le \mathrm{Out}(T)$

을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로

$\mathrm{RU}(G)\cong \mathrm{RU}(T{)}^{\mathrm{Weyl}(G,T)}$

이다. 여기서 우변은 $\mathrm{RU}(T)\cong \mathbb{Z}[x_1,x_1^{-1},\dots ,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]$의 원소 가운데, 바일 군의 작용에 대하여 불변인 것들로 구성된 부분환이다.

유한 아벨 군의 경우

임의의 유한 아벨 군 $G$에 대하여, 그 지표군

$\hat{G}=\{\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Grp}}(G,{ℂ}^{\times }\}$

을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 군환이다.

$\mathrm{RU}(G)=\mathbb{Z}[\hat{G}]$

예

자명군

자명군의 표현환은 정수환이다.

$\mathrm{RO}(1)=\mathrm{RU}(1)\cong \mathbb{Z}$

즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다.

순환군

$n$차 순환군 $\mathrm{Cyc}(n)$의 경우,

$\mathrm{RU}(\mathrm{Cyc}(n))\cong \mathbb{Z}[x]/(x^n-1)$

이며, 그 차원은

$\dim :\mathrm{RU}(\mathrm{Cyc}(n))\to \mathbb{Z}$

$x\mapsto 1$

이다.

이 동형 아래, $x$는 다음과 같은, 1의 거듭제곱근을 통한 1차원 표현에 대응한다.

$\mathrm{Cyc}(n)=⟨a|a^n=1⟩\to \mathrm{GL}(1;ℂ)$

$a\mapsto \exp (2\pi \mathrm{i}/n)$

3차 대칭군

3차 대칭군 $\mathrm{Sym}(3)$의 경우,

$\mathrm{RU}(\mathrm{Sym}(3))\cong \mathbb{Z}[x,y]/(xy-y,x^2-1,y^2-x-y-1)$

$\dim x=1$

$\dim y=2$

이다. 여기서 $x$에 대응하는 1차원 표현은

$\mathrm{Sym}(3)\mapsto {ℂ}^{\times }$

$\sigma \mapsto (-{)}^{\sigma }$

이며, $y$에 대응하는 2차원 표현은 $\{(x,y,z)\in {ℂ}^3:x+y+z=0\}$ 위에 벡터 성분의 순열로 작용한다.

원군

원군 $\mathrm{U}(1)$의 복소수 계수 표현환은 로랑 다항식의 환

$\mathrm{RU}(\mathrm{Cyc}(n))\cong \mathbb{Z}[x,x^{-1}]$

이며, 그 차원은

$\dim :\mathrm{RU}(\mathrm{Cyc}(n))\to \mathbb{Z}$

$x\mapsto 1$

이다. 이 동형 아래, $x^k$ ($k\in \mathbb{Z}$)는 다음과 같은 1차원 표현에 대응한다.

$\mathrm{U}(1)=\{z\in ℂ:|z|=1\}\to \mathrm{GL}(1;ℂ)=\{z\in ℂ:z\ne 0\}$

$z\mapsto z^k$

원군의 실수 계수 다항식은 다음과 같은 부분환이다.

$\mathrm{RO}(\mathrm{U}(1))=\{\rho \in \mathrm{RU}(\mathrm{U}(1)):\rho (x)=\rho (x^{-1})\}\le \mathrm{RU}(\mathrm{U}(1))$

원환면군

원환면군

$\mathrm{U}(1{)}^n$

의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 가환환이다.

$\mathrm{RU}(\mathrm{U}(1{)}^n)=\mathbb{Z}[x_1,x_1^{-1},x_2,x_2^{-1},\dots ,x_n,x_n^{-1}]\cong \mathbb{Z}[y,x_1,\dots ,x_n]/(y{x}_1\cdots x_n-1)$

$\dim :x_0,x_1,\dots ,x_n\to 1$

이 동형 아래,

$\mathrm{U}(1{)}^n=\{(z_1,z_2,\dots ,z_n):|z_1|=\cdots =|z_n|=1\}\to \mathrm{GL}(1;ℂ)=\{z\in ℂ:z\ne 0\}$

$x_i:(z_1,\dots ,z_n)\mapsto z_i(i\in \{1,2,\dots ,n\})$

이다.

유니터리 군

유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$의 경우, 극대 원환면은 대각 행렬

$\mathrm{diag}:\mathrm{U}(1{)}^n\hookrightarrow \mathrm{U}(n)$

$\mathrm{diag}:(z_1,\dots ,z_n)\mapsto \mathrm{diag}(z_1,\dots ,z_n)$

로 구성되며, 이에 따른 바일 군은 대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$이다. 즉, 그 표현환은

$\mathrm{RU}(\mathrm{U}(n))=\mathrm{RU}(\mathrm{U}(1{)}^n{)}^{\mathrm{Sym}(n)}\cong \mathbb{Z}[s_1,s_2,\dots ,s_{n-1},s_n,s_n^{-1}]$

이다.틀:Rp 여기서 $s_a$는 $a$번째 기초 대칭 다항식에 대응된다.

$s_a=\prod _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_a\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_a}$

특히, $s_1$은 유니터리 군의 $n$차원 정의 표현이며, 또한 $s_n$은 행렬식 표현에 해당한다.

$s_n=\det :\mathrm{U}(1)\to \mathrm{GL}(1;ℂ)$

$\det :M\mapsto \det M$

이는 1차원 표현이므로 역원 $M\mapsto (\det M{)}^{-1}$을 갖는다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab`