형식적 멱급수

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서 형식적 멱급수(形式的冪級數, 틀:Llang)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.

정의

환 $R$에 대한 형식적 멱급수환 $R[[x]]$는 집합으로서 $R^{\mathbb{N}}$이다. 형식적 멱급수환에서, 원소

$(r_0,r_1,r_2,\dots )$

는 통상적으로

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_n{x}^n=r_0+r_{1}x+r_2{x}^2+\cdots$

으로 쓴다.

$R^{\mathbb{N}}$ 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 $R$-가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다.

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_n{x}^n\right)\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{x}^n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{r}_k{s}_{n-k}{x}^n$

이에 따라 $R[[x]]$는 결합 $R$-대수를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다. $R[[x_1,x_2,\dots ,x_n]]$은 $R[[x_1]][[x_2]]\cdots [[x_n]]$을 뜻한다.

미분

형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 $R$-선형 연산

$D:R[[x]]\to R[[x]]$

$D:\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_n{x}^n\mapsto \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{r}_n{x}^{n-1}$

이 존재하며, 이를 미분이라고 한다.

합성

임의의 $a,b\in R[[x]]$가 주어졌고, $b_0=0$이라고 하자 (즉, $b\in (x)$). 그렇다면 $a$와 $b$의 합성 $a\circ b\in R[[x]]$은 다음과 같다.

$a\circ b=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j\in ({\mathbb{Z}}^{+}{)}^k}^{j_1+\cdots +j_k=n}{a}_k{b}_{j_1}{b}_{j_2}\cdots b_{j_k}{x}^n$

만약 $R$가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

성질

환 $R$에 대하여,

• 만약 $R$가 가환환이라면, $R[[x]]$ 역시 가환환이다.
• 만약 $R$가 가환 뇌터 환이라면, $R[[x]]$ 역시 가환 뇌터 환이다.
• 만약 $R$가 정역이라면, $R[[x]]$ 역시 정역이다.
• 만약 $R$가 체라면, $R[[x]]$는 이산 값매김환이다.

형식적 멱급수환의 원소

$a=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\in R[[x]]$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\in R[[x]]$는 가역원이다.
• $a_0\in R$는 가역원이다.

구체적으로, $a$의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

$(a^{-1}{)}_0=a_0^{-1}$

$(a^{-1}{)}_n=-a_0^{-1}\sum _{i=1}^n{a}_i(a^{-1}{)}_{n-i}=-\sum _{i=1}^n(a^{-1}{)}_{n-i}{a}_i{a}_0^{-1}(n\ge 1)$

거리 공간 구조

형식적 멱급수환 $R[[x]]$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

$d(a,b)=2^{-\min \{n\in \mathbb{N}:a_n\ne b_n\}}(a\ne b)$

형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.틀:Rp 이는 다항식환 $R[x]$의 완비화이다.틀:Rp

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수

$a=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\in R[[x]]$

는 부분합의 점렬

$(a_0,a_0+a_{1}x,a_0+a_{1}x+a_2{x}^2,\dots )$

의 극한이다.

형식적 로랑 급수

체 $K$에 대하여, 형식적 로랑 급수체 $K((x_1,x_2,\dots ,x_n))$은 형식적 멱급수환의 분수체이다.

$K((x_1,x_2,\dots ,x_n))=\mathrm{Frac}(K[[x_1,x_2,\dots ,x_n]])=\mathrm{Frac}(K[[x_1]][[x_2]]\cdots [[x_n]])$

정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로, $p\in K((x))$는

$p=\sum _{i=m}^{\mathrm{\infty }}{p}_i{x}^i$

의 꼴로 전개할 수 있다 ($m\in \mathbb{Z}$). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다.

다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는

$K[x][y]\cong K[x,y]$

$K(x)(y)\cong K(x,y)$

$K[[x]][[y]]\cong K[[x,y]]$

가 성립하지만, $K((x,y))$와 $K((x))((y))$는 서로 다른 체이다. 일반적으로, $K((x,y))$는 $K(x)((y))$의 부분환이며, 단사 준동형

$K((x,y))\stackrel{{\iota }_x}{\hookrightarrow }K(x)((y))\hookrightarrow K((x))((y))$

$K((x,y))\stackrel{{\iota }_y}{\hookrightarrow }K(y)((x))\hookrightarrow K((y))((x))$

이 존재한다. 예를 들어,

${\iota }_x:\frac{1}{x-y}\mapsto x^{-1}+x^{-2}y+x^{-3}{y}^2+\cdots \in K(x)((y))$

${\iota }_y:\frac{1}{x-y}\mapsto -y^{-1}-y^{-2}x-y^{-3}{x}^2-\cdots \in K(y)((x))$

이다. 그러나 ${\iota }_x$ 및 ${\iota }_y$는 동형 사상이 아니다. 예를 들어,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{-n^2}{y}^n\in K(x)((y))\setminus {\iota }_x(K((x,y)))$

이다.

같이 보기

• 다항식환
• 퓌죄 급수
• 국소화 (환론)

외부 링크

• 틀:매스월드