1차 논리

틀:위키데이터 속성 추적 1차 논리(一次論理, 틀:Llang)는 원소에만 한정 기호를 가할 수 있고, 술어에는 한정 기호를 가할 수 없는 술어 논리이다. 명제 논리와 달리 변수에 대하여 한정 기호를 사용할 수 있으나, 2차 논리와 달리 변수들의 집합에 대하여 한정 기호를 사용할 수 없다. 1차 논리의 경우, (2차 논리와 달리) 괴델의 완전성 정리 · 콤팩트성 정리 · 뢰벤하임-스콜렘 정리와 같은 중요한 성질들이 성립한다.

이외에 1차 술어 논리, 1계 논리 등으로도 불린다. 간단히 술어 논리(predicate logic)라 하면 1차 논리를 가리키는 경우가 많다.

정의

1차 논리는 다음의 요소들로 이루어진다.

• 특정 문자열들의 집합을 논리식의 집합이라고 한다. 논리식이 만족시켜야 하는 문법은 재귀적으로 정의된다.
• 특정 논리식 집합으로부터 다른 논리식을 추론할 수 있다. 이에 대한 규칙은 힐베르트 체계 및 다른 여러 방식으로 명시될 수 있다.
• 1차 논리 언어의 의미론이란 그 언어의 문장들에 대하여 참인지 여부를 일관적으로 부여하는 구조이다. 이는 보통 모형으로 주어진다.

문법

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. (여기서 $\mathbb{N}$은 자연수, 즉 음이 아닌 정수의 집합이다.)

• 집합 $I$ 및 함수 $m:I\to \mathbb{N}$, $i\mapsto m_i$. $I$는 유한 집합이거나 무한 집합일 수 있다. 이를 연산(演算, 틀:Llang)의 집합이라고 한다.
• 집합 $J$ 및 함수 $n:J\to \mathbb{N}$, $j\mapsto n_j$. $J$는 유한 집합이거나 무한 집합일 수 있다. 이를 관계(關係, 틀:Llang)의 집합이라고 한다.

그렇다면, $(I,m,J,n)$으로 정의되는 1차 논리 언어 ${ℒ}_{I,J}\subseteq {\mathrm{\Sigma }}^{*}$는 특정한 문자열들의 집합이다. 이 문자열을 구성하는 문자 집합

$\mathrm{\Sigma }=\{{𝗑}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\bigsqcup \{\mathrm{\forall },=,⟹,\mathrm{\neg }\}\bigsqcup \{{𝖿}_i{\}}_{i\in I}\bigsqcup \{{𝖱}_j{\}}_{j\in J}$

은 구체적으로 다음과 같다.

• 가산 무한 개의 변수들 ${𝗑}_0,{𝗑}_1,{𝗑}_2,\dots$
  • 가산 무한 개의 변수들만으로 충분한 이유는 모든 논리식의 길이가 유한하기 때문이다. 무한 논리의 경우 더 많은 변수들을 추가할 수 있다.
• 명제 논리의 연산 $⟹$ (함의) 및 $\mathrm{\neg }$ (부정).
  • 그 대신 다른 기호들을 사용할 수도 있다. 예를 들어, 논리합 $\vee$ 또는 논리곱 $\wedge$ 등이 있다.
• 등호 $=$
• 전칭 기호(全稱記號, 틀:Llang) $\mathrm{\forall }$.
  • 그 대신 존재 기호(存在記號, 틀:Llang) $\mathrm{\exists }$를 사용할 수도 있다. 사실, 임의의 변수 $x$에 대하여 $\mathrm{\forall }x\varphi ⟺\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }\varphi$이며 $\mathrm{\exists }x\varphi ⟺\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }\varphi$이므로, 이들은 서로 동치이다.
• 각 $i\in I$에 대하여, 기호 ${𝖿}_i$. 이를 $m_i$항 연산이라고 하며, $m_i$를 ${𝖿}_i$의 항수(項數, 틀:Llang)라고 한다. 0항 연산을 상수(틀:Llang)라고 한다.
• 각 $j\in J$에 대하여, 기호 ${𝖱}_j$. 이를 $n_j$항 관계라고 하며, $n_j$를 ${𝖱}_j$의 항수(項數, 틀:Llang)라고 한다. 1항 관계를 술어(틀:Llang)라고 한다. (항수가 0인 관계는 고전 명제 논리에서는 참 또는 거짓이 되므로 자명하다.)
• 이 밖에도, 괄호 $()$ 및 반점 $,$ 등은 엄밀히 말해 불필요하지만, 가독성을 돕기 위해 첨가한다. 예를 들어, ${𝖿}_i{𝗑}_0{𝗑}_2$ 대신 ${𝖿}_i({𝗑}_0,{𝗑}_2)$로 쓴다.

이 기호들 가운데, $\{{𝖿}_i{\}}_{i\in I}$ 및 $\{{𝖱}_j{\}}_{j\in J}$를 제외한 기호들을 논리 기호(틀:Llang)라고 한다.

1차 논리의 항(項, 틀:Llang)은 다음 문법을 따른다.

• 모든 변수는 항이다.
• 임의의 $i\in I$와 $m_i$개의 항 $t_1,t_2,\dots ,t_{m_i}$에 대하여, ${𝖿}_i(t_1,t_2,\dots ,t_{m_i})$은 항이다. (상수의 경우, 즉 $m_i=0$일 때, 보통 괄호 ${𝖿}_i()$를 생략하여 ${𝖿}_i$로 쓴다.)

1차 논리의 논리식(틀:Llang)은 다음 문법을 따르는, 위 기호들의 문자열이다.

• 임의의 $j\in J$와 $n_j$개의 항 $t_1,\dots ,t_{n_j}$에 대하여, ${𝖱}_j(t_1,\dots ,t_{n_j})$은 논리식이다.
• 두 항 $t_1$, $t_2$에 대하여, $t_1=t_2$는 논리식이다.
• 논리식 $\varphi$와 $\chi$에 대하여, $\mathrm{\neg }\varphi$와 $\varphi ⟹\chi$는 논리식이다.
• 논리식 $\varphi$에 등장하는 변수 $x_i$가 자유 변수라면, $\mathrm{\forall }x\varphi$는 논리식이다.

여기서 논리식 $\varphi$ 및 그 속에 등장하는 변수 $x$에 대하여, 만약 $\varphi$가 $\mathrm{\forall }x$를 포함하지 않는다면, $x$를 $\varphi$의 자유 변수(틀:Llang)라고 하며, 그렇지 않다면 $x$를 $\varphi$의 종속 변수(틀:Llang)라고 한다.

자유 변수를 갖지 않는 (즉, 그 속에 등장하는 모든 변수가 종속 변수인) 논리식을 문장(文章, 틀:Llang)이라고 한다.

공리와 추론 규칙

1차 논리의 증명 이론은 다양한 방식으로 공리화할 수 있다. 예를 들어 다비트 힐베르트의 힐베르트 체계(틀:Llang)나, 게르하르트 겐첸의 시퀀트 계산(틀:Llang)이나 자연 연역(틀:Llang) 등을 사용할 수 있다.

1차 논리를 힐베르트 체계를 사용하여 공리화하면, 다음과 같다. 우선, 편의상 다음과 같은 기호만을 사용한다고 하자.

• 명제 논리에서, 오직 함의 $⟹$와 부정 $\mathrm{\neg }$만을 사용한다고 하자. (논리합이나 논리곱과 같은 다른 명제 논리 기호는 이 둘로 나타낼 수 있다.)
• 술어 논리에서, 오직 전칭 기호 $\mathrm{\forall }$만을 사용한다고 하자. (존재 기호 $\mathrm{\exists }$는 $\mathrm{\forall }$만으로 나타낼 수 있다.)

이 경우, 다음과 같은 공리 기본꼴(틀:Llang)들을 정의한다. 이 공리 기본꼴들에서 사용된 기호들은 다음과 같다.

• $\varphi$, $\chi$, $\psi$는 임의의 논리식을 뜻한다.
• $t$, $u$는 임의의 항을 뜻한다.
• $x$는 임의의 변수를 뜻한다.

즉, 공리 기본꼴에서 위의 기호들을 실제의 논리식·항·변수로 치환하면 공리들을 얻는다.

우선, 추론 규칙으로 전건 긍정의 형식

㈀ $\begin{array}{c}\varphi ⟹\chi \\ \varphi \\ \chi \end{array}$

과 일반화

㈁ $\begin{array}{c}\varphi \\ \mathrm{\forall }x\varphi \end{array}$

추론 규칙 ㈁에서, $x$는 $\varphi$의 자유 변수이어야 한다.

가 있다. 이 밖에, 다음과 같은 명제 논리의 공리 기본꼴들이 사용된다.

㈂ $\varphi ⟹(\chi ⟹\varphi )$

㈃ $(\varphi ⟹(\chi ⟹\psi ))⟹((\varphi ⟹\chi )⟹(\varphi ⟹\psi ))$

㈄ $(\mathrm{\neg }\varphi ⟹\mathrm{\neg }\chi )⟹(\chi ⟹\varphi )$

1차 술어 논리의 경우, 다음과 같은 추가 공리 기본꼴들이 사용된다.

㈅ $\mathrm{\forall }x\varphi ⟹\varphi [t/x]$

㈆ $\mathrm{\forall }x(\varphi ⟹\chi )⟹(\mathrm{\forall }x\varphi ⟹\mathrm{\forall }x\chi )$

㈇ $x=x$

㈈ $(t=u)⟹(\varphi [t/x]⟹\varphi [u/x])$

공리 기본꼴 ㈈에서, $x$는 논리식 $\varphi$의 자유 변수이어야 한다.

위 공리 기본꼴들에서, $\varphi [t/x]$는 논리식 $\varphi$에 등장하는 자유 변수 $x$를 항 $t$로 대체하여 얻는 논리식을 뜻한다. 예를 들어, 체의 언어에서

$\text{“}\mathrm{\neg }(x=2)\wedge (\mathrm{\forall }xx=y))\vee x=3\text{”}[(1+1)/x]=\text{“}\mathrm{\neg }((1+1)=2)\wedge (\mathrm{\forall }xx=y))\vee 1+1=3\text{”}$

이다. 이때, 논리식 내부의 ‘$\mathrm{\forall }xx=y$’에서 $x$가 치환되지 않는 이유는 이 부분에서는 $x$가 종속 변수이기 때문이다.

성질

의미론

틀:본문 1차 논리의 의미론은 보통 모형으로 주어진다. 주어진 연산 집합 $I$와 관계 집합 $J$을 갖는 1차 논리 언어 ${ℒ}_{I,J}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이 언어의 모형은 집합 $X$ 및 각 $n$항 연산 $i\in I$에 대하여 ${𝖿}_i$의 해석 ${𝖿}_i^X:X^n\to X$ 및 각 $n_j$항 관계 ${𝖱}_j$에 대하여 그 해석 ${𝖱}_j^X\in 𝒫(X^{n_j})$으로 구성된다. 이를 통해, ${ℒ}_{I,J}$의 문장 $\varphi$와 ${ℒ}_{I,J}$의 모형 $M$에 대하여, $\varphi$가 $M$에서 참인지 또는 거짓인지 여부를 정의할 수 있다. $\varphi$가 $M$에서 참이라는 것은

$M\models \varphi$

로 표기한다.

보다 일반적으로, ${ℒ}_{I,J}$의 논리식 $\varphi$가 자유 변수 $x_1,\dots ,x_k$를 갖는다고 하자. 그렇다면, ${ℒ}_{I,J}$의 모형 $M$ 및 그 속의 $k$개의 원소

$(m_1,\dots ,m_k)\in M^k$

가 주어졌을 때,$\varphi$가 $M$에서 $(m_i{)}_{i=1}^k$에 대하여 참인지 또는 거짓인지 여부를 정의할 수 있다. 이는

$M\models \varphi [m_1/x_1,\dots ,m_k/x_k]$

로 표기한다.

1차 논리의 경우 콤팩트성 정리와 뢰벤하임-스콜렘 정리가 성립한다.

증명 이론

비논리 기호를 포함하지 않는 1차 논리 문장들의 집합을 ${ℒ}_{=}^0$라고 하자. 그 가운데, 모든 모형에서 참인 문장들의 부분 집합

$𝒯=\{\varphi \in {ℒ}_{=}^0:\mathrm{\forall }M\in \mathrm{Model}({ℒ}_{=}):M\models \varphi \}$

을 생각하자. 또한, ${ℒ}_{=}^0$ 속에서, 위의 힐베르트 체계를 통해 증명할 수 있는 문장들의 집합을

${𝒯}^{\prime }=\{\varphi \in {ℒ}_{=}^0:⊢\varphi \}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

• 1차 논리의 건전성 정리에 따르면, $𝒯={𝒯}^{\prime }$이다. 즉, 명제가 증명 가능한지 여부는 명제가 참인지 여부와 동치이다.
• $𝒯$는 재귀 집합이다. (이는 레오폴트 뢰벤하임이 1915년에 증명하였다.)

보다 일반적으로, 임의의 가산 연산 집합 $I$와 관계 집합 $J$를 갖는 1차 논리 언어 ${ℒ}_{I,J}$ 속에서, 문장들의 집합을 ${ℒ}_{I,J}^0\subseteq {ℒ}_{I,J}$라고 하자. 그 가운데, 모든 모형에서 참인 문장들의 부분 집합

$𝒯=\{\varphi \in {ℒ}_{I,J}^0:\mathrm{\forall }M\in \mathrm{Model}({ℒ}_{I,J}):M\models \varphi \}$

을 생각하자.

• 괴델의 완전성 정리에 따르면, $𝒯$는 재귀 열거 집합이다.
• 만약 $ℛ$에 (등호를 제외한) 2항 이상의 항수를 갖는 관계가 존재한다면, $𝒯$는 재귀 집합이 아니다.
• 만약 $I=\varnothing$이며, $J$의 모든 관계가 술어(1항 관계) 또는 등호라면, $𝒯$는 재귀 집합이다. 이러한 언어를 1항 1차 언어(틀:Llang)라고 한다.

린드스트룀 정리

린드스트룀 정리(틀:Llang)에 따르면, 1차 술어 논리는 (가산) 콤팩트성 정리와 하향 뢰벤하임-스콜렘 정리를 만족시키는 가장 강력한 논리 체계이다.

예

집합론

체르멜로-프렝켈 집합론의 언어는 하나의 2항 관계 $\in$ 만을 포함하며, 아무런 연산을 갖지 않는다. 집합론에서 사용되는 대부분의 명제들은 이 언어로 나타낼 수 있다.

체와 순서체

체의 1차 논리 언어

$I=\{+,\cdot ,-,0,1\}$

$m_{+}=m_{\cdot }=2$

$m_{-}=1$

$m_0=m_1=0$

$J=\varnothing$

는 두 개의 이항 연산과 하나의 1항 연산 및 두 개의 상수(0항 연산)을 포함하며, 등호 밖의 관계를 갖지 않는다. 보통 ${𝖿}_{+}(a,b)$는 $a+b$와 같이 표기한다.

순서체의 1차 논리 언어

$I=\{+,\cdot ,-,0,1\}$

$m_{+}=m_{\cdot }=2$

$m_{-}=1$

$m_0=m_1=0$

$J=\{\le \}$

$n_{\le }=2$

는 두 개의 이항 연산과 하나의 1항 연산 및 두 개의 상수(0항 연산)을 포함하며, 하나의 2항 관계를 갖는다. 보통 ${𝖱}_{\le }(a,b)$는 $a\le b$와 같이 표기한다.

범주

범주의 1차 논리 언어는 다음과 같이, 하나의 3항 관계

• $𝖢(-,-,-)$ ($𝖢(x,y,z)$는 $x\circ y=z$임을 뜻함)

와 두 개의 1항 연산

• $\mathrm{dom}(-)$ (사상의 정의역)
• $\mathrm{codom}(-)$ (사상의 공역)

으로 나타낼 수 있다. 변수들은 사상을 나타내며, 대상들은 항등 사상으로 나타내어진다. 편의상 다음과 같은 술어를 정의하자.

$𝖮𝖻𝗃(x)⟺\mathrm{dom}(x)=\mathrm{codom}(x)=x$

이는 $x$가 항등 사상(즉, 대상)임을 뜻한다. 그렇다면, 범주의 1차 논리 이론은 다음과 같은 공리들로 구성된다.

• $\mathrm{dom}(x)=x⟺\mathrm{codom}(x)=x$ (항등 사상의 두 정의의 동치성)
• $𝖮𝖻𝗃(\mathrm{dom}x)$ (사상의 정의역은 대상)
• $𝖮𝖻𝗃(\mathrm{codom}x)$ (사상의 공역은 대상)
• $𝖢(x,y,z)⟹\mathrm{dom}x=\mathrm{codom}y$ (사상 합성의 존재의 필요 조건)
• $𝖢(x,y,z)⟹\mathrm{dom}y=\mathrm{dom}z$ (합성 사상의 정의역)
• $𝖢(x,y,z)⟹\mathrm{codom}x=\mathrm{codom}z$ (합성 사상의 공역)
• $𝖢(x,y,a)\wedge 𝖢(a,z,c)\wedge 𝖢(y,z,b)\wedge 𝖢(x,b,d)⟹c=d$ (사상 합성의 결합 법칙)
• $𝖮𝖻𝗃(x)\wedge 𝖢(x,y,z)⟹y=z$ (항등 사상과의 합성)
• $𝖮𝖻𝗃(y)\wedge 𝖢(x,y,z)⟹x=z$ (항등 사상과의 합성)

이 이론의 모형의 개념은 작은 범주의 개념과 동치이다.

역사

고틀로프 프레게가 1879년에 출판된 《개념 표기법》에서 사용한 논리는 (현대적 용어로는) 2차 논리였다.틀:Rp틀:Rp 이후 1885년에 찰스 샌더스 퍼스는 1차 논리와 2차 논리를 구분하였다.틀:Rp틀:Rp 퍼스는 1차 논리를 "1차 내포 논리"(틀:Llang)로, 2차 논리를 "2차 내포 논리"(틀:Llang)로 일컬었다.틀:Rp

이후 에른스트 체르멜로는 2차 논리를 사용하여 집합론을 개발하였다. 토랄프 스콜렘은 1922년에 체르멜로의 집합론을 1차 논리로 재정의하였다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp 이는 오늘날 사용되는 체르멜로-프렝켈 집합론의 기반이 되었다.

제2차 세계 대전 이후 1차 논리는 (2차 논리나 유형 이론 등을 대신하여) 통상적으로 사용되는 수학의 기반이 되었다.틀:Rp

같이 보기

• 논리 기호
• 로지반
• 프리넥스 표준형
• 프롤로그 (프로그래밍 언어)
• 관계대수
• 관계형 모델
• 스콜렘 표준형
• 진리표

외부 링크

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