근방 필터

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 근방 필터(近傍filter, 틀:Llang)는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬과 그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴(틀:Llang)하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다.

정의

위상 공간 $(X,𝒯)$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 근방들의 집합

${𝒩}_S=\uparrow (𝒯\cap \uparrow S)=\{N\subseteq X:S\subseteq U\subseteq N,U\in 𝒯\}$

은 멱집합 $𝒫(X)$ 속의 필터를 이루며, 이를 $S$의 근방 필터 또는 근방계(近傍系, 틀:Llang) ${𝒩}_S$라고 한다. $X$의 점 $x\in X$의 근방 필터는 한원소 집합 $\{x\}$의 근방 필터를 뜻하며, ${𝒩}_x$로 표기한다.

근방 필터 ${𝒩}_x$의 공시작 집합 (즉, $\uparrow ℬ={𝒩}_x$이 되는 부분 집합 $ℬ\subseteq {𝒩}_x$)을 $x$의 국소 기저(局所基底, 틀:Llang)라고 한다.

필터의 수렴

위상 공간 $X$ 위의 필터 $ℱ\subseteq 𝒫(X)$ 및 점 $x\in X$가 주어졌다고 하자. 만약 ${𝒩}_x\subseteq ℱ$라면, $ℱ$가 $x$로 수렴한다(틀:Llang)고 하고,

$ℱ\to x$

로 표기한다. 이 경우, $x$를 $ℱ$의 극한(틀:Llang)이라고 한다.

보다 일반적으로, $X$ 위의 필터 기저 $ℬ\subseteq 𝒫(X)$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 만약 ${𝒩}_x\subseteq \uparrow ℬ$라면, $ℬ$가 $x$로 수렴한다고 한다.

성질

위상 공간 $X$ 위의 자명한 필터 $𝒫(X)$는 모든 점에 수렴한다.

위상 공간 $X$의 모든 점 $x\in X$이 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면, $X$를 제1 가산 공간이라고 한다.

분리 공리

위상 공간 $(X,𝒯)$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $𝒫(X)$ 전체가 아닌, $𝒫(X)$ 위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
• 임의의 두 점 $x,y\in X$에 대하여, $x\ne y$라면, ${𝒩}_x\setminus {𝒩}_y\ne \varnothing$이자 ${𝒩}_y\setminus {𝒩}_x\ne \varnothing$이다.
• 임의의 두 점 $x,y\in X$에 대하여, $x\in U$이자 $y\in V$이며 $U\cap V=\varnothing$인 열린집합 $U,V\in 𝒯$가 존재한다.
• 하우스도르프 공간이다.

그물과의 관계

임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.

예

이산 공간 $X$의 점 $x\in X$의 근방 필터는 주 필터 $\uparrow \{x\}$이다. 비이산 공간 $X$의 점 $x\in X$의 근방 필터는 ${𝒩}_x=\{X\}$이다.

거리 공간 $(X,d)$에서, 다음과 같은 집합은 점 $x\in X$의 국소 기저를 이룬다.

$\{\mathrm{ball}(x,1/n):n\in {\mathbb{Z}}^{+}\}=\{\{y\in X:d(x,y)<1/n\}:n\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
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