추이적 모형

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 추이적 모형(推移的模型, 틀:Llang)은 내부적 포함 관계가 외부적 포함 관계와 같은, 추이적 집합 위에 정의된 집합론 모형이다.

정의

집합론의 언어 ${ℒ}_{\in }$은 하나의 이항 관계 $\in$만을 갖는 언어이다. 이 언어의 구조 $(M,\tilde{\in })$가 주어졌다고 하자. 만약 $\tilde{\in }$ (내적인 연산)이 $\in$ (외적인 연산)과 일치한다면, $(M,\tilde{\in })$이 표준 구조(標準構造, 틀:Llang)라고 한다.

${ℒ}_{\in }$의 표준 구조 $M$에 대하여, 만약 $M$이 추이적 집합이라면, $M$을 추이적 표준 구조(推移的標準構造, 틀:Llang)라고 한다.

${ℒ}_{\in }$의 구조 $(M,\tilde{\in })$에서, 만약 $\tilde{\in }$이 정초 관계라면, $(M,\tilde{\in })$을 정초 구조(整礎-, 틀:Llang)라고 한다.

${ℒ}_{\in }$의 구조 $(M,\tilde{\in })$이 다음 조건을 만족시킨다면, 확장적 구조(틀:Llang)라고 한다.

$M\models \mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y((\mathrm{\forall }z:z\in x⟺z\in y)⟺x=y)$

즉, $M$에서 체르멜로-프렝켈 집합론의 확장 공리가 성립해야 한다.

성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성을 함의하지만, 그 반대 함의는 성립하지 않는다.

그로텐디크 전체는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형이다. 그러나 그로텐디크 전체는 모든 원소의 멱집합을 포함하여야 하므로, 이는 추이적 모형보다 더 강한 개념이다.

정초 구조의 개념은 절대적이지 않으며, 외적인 개념이다. 구체적으로, 다음과 같은 ${ℒ}_{\in }$-문장 $𝖠𝖥$를 생각하자. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리이다.)

$\mathrm{\forall }y\mathrm{\exists }x\in y:x\cap y=\varnothing$

즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.

$\mathrm{\forall }y\mathrm{\exists }x(x\in y\wedge \mathrm{\forall }z:\mathrm{\neg }(z\in x\wedge z\in y))$

${ℒ}_{\in }$의 구조 $M$에 대하여, 만약 $M$이 정초 구조라면 $M\models 𝖠𝖥$이지만, 반대 방향의 함의는 성립하지 않는다.

모스토프스키 붕괴

${ℒ}_{\in }$의 구조 $(M,\tilde{\in })$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 정초 구조이다.
• 확장적 구조이다.

그렇다면, 모스토프스키 붕괴 정리(Mostowski崩壞定理, 틀:Llang)에 따르면, $(M,\tilde{\in })$은 추이적 표준 구조 $\tilde{M}$과 동형이다. 또한, 이러한 동형은 유일하다. 구체적으로, 이 동형 $\pi :M\to \tilde{M}$은 다음과 같다.

$\tilde{M}=\{\{\pi (y):y\in M,y\tilde{\in }x\}:x\in M\}$

$\pi :x\in M\mapsto \{\pi (y):y\in M,y\tilde{\in }x\}\in \tilde{M}$

재귀적인 정의이지만, 정초 관계 조건에 따라서 이는 잘 정의된 대상이다.

따라서, 정초 확장적 구조들의 각 동형류는 추이적 집합을 표준적인 대표원으로 갖는다.

예

도달 불가능한 기수 $\kappa$에 대하여, 폰 노이만 전체의 단계 $V_{\kappa }$는 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 표준 모형이다.

홀수의 전순서 집합 $(\{1,3,5,\dots \},\le )$를 생각해 보자. 이는 모스토프스키 붕괴 정리에 의하여, 이는

$\{0=\varnothing ,1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\dots \}$

로 대응된다. 이는 순서수의 폰 노이만 정의이므로, 홀수의 전순서 집합이 모든 자연수의 완전 순서 집합으로 "붕괴"한 것을 알 수 있다.

역사

모스토프스키 붕괴 정리는 폴란드의 수학자 안드제이 모스토프스키(Andrzej Mostowski)가 증명하였다.

외부 링크

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