포괄적 필터

틀:위키데이터 속성 추적 순서론에서 포괄적 필터(包括的filter, 틀:Llang)는 모든 공시작 집합과 겹치는 필터이다. 이 개념은 강제법에 응용된다.

정의

원순서 집합 $(P,\lesssim )$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 $F\subseteq P$를 $P$의 포괄적 필터(틀:Llang)라 부른다.틀:Rp

• 모든 공시작 집합 $D\subseteq P$에 대하여, $D\cap F\ne \varnothing$

집합론에서는 공시작 집합을 ‘조밀 집합(틀:Lang)’이라고 부르기도 한다.

위 정의를 일반화해서 $P$ 속의 집합족 $𝒟\subseteq 𝒫(P)$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 $F\subseteq P$를 $𝒟$-포괄적 필터(틀:Llang)라고 부른다.

• 모든 $D\in 𝒟$에 대하여, $D\cap F\ne \varnothing$

마찬가지로, 원순서 집합 $(P,\lesssim )$에 대해서 다음 조건을 만족시키는 순서 아이디얼 $I\subseteq P$를 포괄적 순서 아이디얼(틀:Llang)이라 부른다.

• 모든 공종 집합 $D\subseteq P$에 대하여, $D\cap I\ne \varnothing$

마찬가지로 $𝒟$-포괄적 순서 아이디얼을 정의할 수 있다.

성질

라시오바-시코르스키 보조정리

ZFC를 가정하면 다음이 성립한다:

라시오바-시코르스키 보조정리의 증명:

$𝒟=\{D_1,D_2,\dots \}$라고 하자. 그렇다면, 원소열 $(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\in P$을 다음과 같이 정의하자.

• $x_0=x$
• $x_i\in P$가 주어졌을 때, $D_{i+1}$이 공시작 집합이므로, $x_{i+1}\lesssim x_i$인 $x_{i+1}\in D_{i+1}$를 선택 공리를 사용하여 고른다.

그렇다면

$F=\uparrow \{x_0,x_1,x_2,\dots \}=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\uparrow \{x_i\}$

는 $𝒟$-일반 필터이다. (여기서 $\uparrow$는 상폐포를 뜻한다.)

응용

흔히, 강제법에서는 집합론의 표준 추이적 모형 $⟨M,\in ⟩$을 다루는데, 이 경우 강제법 원순서 집합 $P$ 속의, $M$의 원소인 공시작 집합들의 집합

$𝒟=\mathrm{Coinit}(P,\lesssim )\cap M$

에 대한 $𝒟$-포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.틀:Rp

역사

라시오바-시코르스키 보조정리는 1950년에 틀:임시링크와 틀:임시링크가 증명하였다. 그들은 이를 이용해 괴델의 완전성 정리를 집합론적인 접근법으로 증명했다.