르베그 측도

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 르베그 측도(틀:Llang)는 유클리드 공간의 부분 집합에 길이, 넓이 또는 부피를 할당하는 방법이다. 이를 사용하여 르베그 적분을 정의할 수 있다.

정의

르베그 측도는 유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 위에 정의되는 측도이며, 보렐 측도의 완비화이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. ${ℝ}^n$ 위의 르베그 측도는 $ℝ$ 위의 르베그 측도의 곱측도로 정의할 수 있으므로, $ℝ$ 위의 측도를 정의하는 것으로 족하다. $ℝ$ 위의 르베그 외측도 ${\lambda }^{*}:𝒫(ℝ)\to [0,\mathrm{\infty }]$는 다음과 같다.

${\lambda }^{*}(S)=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|b_i-a_i|:a_i,b_i\in ℝ,S\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}[a_i,b_i]\}$

르베그 가측 집합은 다음 성질을 만족시키는 집합 $S\subset ℝ$이다.

• 모든 $T\subset ℝ$에 대하여, ${\lambda }^{*}(T)={\lambda }^{*}(T\cap S)+{\lambda }^{*}(T\setminus S)$

르베그 가측 집합의 집합 $ℒ$은 시그마 대수를 이룸을 보일 수 있다. $ℝ$ 위의 르베그 측도 $\lambda ={\lambda }^{*}{|}_{ℒ}$는 르베그 가측집합에 국한시킨 르베그 외측도이며, $(ℝ,ℒ,\lambda )$는 측도 공간을 이룸을 보일 수 있다.

성질

$k$차원 유클리드 공간에 대해, 르베그 측도 $\lambda$는 다음의 성질을 만족한다.

• 모든 보렐 집합은 르베그 가측 집합이다.
• 르베그 측도는 완비 측도이다. 즉, 어떤 집합이 르베그 가측 집합이며 측도가 0이면, 그 부분집합 또한 가측 집합이다.
• (이동 불변성 틀:Llang) 임의의 르베그 가측 집합 $A\subset ℝ$와 벡터 $b\in {ℝ}^k$에 대해, $A+b=\{a+b:a\in A\}$ 역시 가측 집합이며 $E$와 같은 측도를 갖는다.

르베그 가측 집합

비탈리 정리에 따르면 선택 공리를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 바나흐-타르스키 역설 등의 결과를 가져온다. 비탈리 집합은 르베그 측정이 불가능한 집합의 한 예이다. 반면, 결정 공리를 사용할 경우에는 실수의 부분집합은 모두 측정가능하다는 것을 증명할 수 있다.

선택 공리를 가정하자. 유클리드 공간의 르베그 가측 집합의 수는 ${\beth }_2=2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$이지만, 보렐 집합의 수는 ${\beth }_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$이다. 즉, 거의 모든 르베그 가측 집합은 보렐 집합이 아니다.

모든 르베그 가측 집합 $L$은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$L=G\setminus N=F\cup N^{\prime }$

여기서

• $N$ 및 $N^{\prime }$은 르베그 영집합이다.
• $G$는 G_δ 집합이다 (따라서 보렐 집합이다).
• $F$는 F_σ 집합이다 (따라서 보렐 집합이다).

예

선분, 사각형 등의 도형에 대한 르베그 측도는 길이나 넓이 등의 개념과 일치한다. 예를 들어, 구간 $(0,1)$의 측도는 길이와 같은 1이다.

칸토어 집합은 크기가 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$이지만 르베그 측도가 0이다.

같이 보기

• 르베그 밀도 정리
• 리우빌 수
• 비가측 집합
• 조르당 측도

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용