반복 강제법

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 반복 강제법(反復強制法, 틀:Llang)은 강제법 모형의 구성을 초한 번 반복하는 과정이다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
• 순서수 $\mu \in M\cap \mathrm{Ord}$

$M$ 속의 $\mu$ 단계 반복 강제법 구조($\mu$-段階反復強制法構造, 틀:Llang)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp틀:Rp

• $M$의 원소인 집합 $D\in M$
• $M$의 원소인 $({\dot{Q}}_{\beta },{\dot{\lesssim }}_{\beta }{)}_{\beta <\mu }$. $({\dot{Q}}_{\beta },{\dot{\lesssim }}_{\beta })$는 유일한 최소 원소를 갖는 원순서 집합의 $P_{\beta }$-이름이다.
• 각 $\beta <\mu$에 대하여, ${\dot{\mathrm{\perp }}}_{\beta }$는 $({\dot{Q}}_{\beta },{\dot{\lesssim }}_{\beta })$의 유일한 최소 원소이다.
• 집합족 $ℐ\subseteq 𝒫(\mu )$. 또한, $ℐ$는 $𝒫(\mu +1)$ 속의 순서 아이디얼을 이룬다.
• $ℐ$는 $\mu$의 모든 유한 부분 집합을 포함한다.

여기서, 다음과 같은 함수열을 정의하자.

${\mathrm{supp}}_{\lambda }:D^{\lambda }\to 𝒫(\lambda )$

${\mathrm{supp}}_{\lambda }:p\mapsto \{\alpha \in \lambda :p_{\alpha }\ne {\dot{\mathrm{\perp }}}_{\mu }\}$

그렇다면 다음과 같은 부분 순서 집합들의 열 $(P_{\alpha }{)}_{\alpha \le \mu }$을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다.

$\mathrm{\forall }\lambda \le \mu \mathrm{\forall }p\in D^{\lambda }:p\in P_{\lambda }⟺\{\begin{array}{cc}(p\upharpoonright \alpha \in P_{\alpha })\wedge (p_{\beta }\in \mathrm{dom}{\dot{Q}}_{\alpha })\wedge (p\upharpoonright \alpha ⊩(p_{\alpha }\in {\dot{Q}}_{\alpha }))& \mathrm{\exists }\alpha :\alpha +1=\lambda \\ (\mathrm{\forall }\alpha <\lambda :p\upharpoonright \alpha \in P_{\alpha })\wedge ({\mathrm{supp}}_{\lambda }p\in ℐ)& \nexists \alpha :\alpha +1=\lambda \end{array}$

$\mathrm{\forall }\lambda \le \mu \mathrm{\forall }p,q\in P_{\lambda }:p\le q⟺\{\begin{array}{cc}(p\upharpoonright \alpha \le q\upharpoonright \alpha )\wedge (p\upharpoonright \alpha ⊩(p_{\alpha }\le q_{\alpha }))& \mathrm{\exists }\alpha +1=\lambda \\ \mathrm{\forall }\alpha <\lambda :(p\upharpoonright \alpha \le q\upharpoonright \alpha )& \nexists \alpha :\alpha +1=\lambda \end{array}$

임의의 $\alpha \le \beta \le \mu$에 대하여, 함수 ${\iota }_{\alpha \beta }$를 다음과 같이 정의하자.

${\iota }_{\alpha \beta }:P_{\alpha }\to P_{\beta }$

$(q={\iota }_{\alpha \beta }(p))⟺((q\upharpoonright \alpha =\beta )\wedge (\mathrm{\forall }\alpha \le \gamma <\beta :q_{\gamma }={\mathrm{\perp }}_{\gamma }))$

만약 $ℐ$가 유한 집합이라면, 이를 유한 지지 반복 강제법 구조(有限支持反復強制法, 틀:Llang)이라고 한다.

만약 $ℐ$가 가산 집합이라면, 이를 가산 지지 반복 강제법 구조(可算支持反復強制法, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

다음이 성립한다.

• 임의의 $p\in P_{\beta }$ 및 $\gamma <\beta$에 대하여, $p\upharpoonright \gamma \in P_{\beta }$이다.
• 임의의 $(p_{\gamma }{)}_{\gamma <\beta }\in P_{\beta }$ 및 $\gamma <\beta$에 대하여, $p_{\gamma }\in \mathrm{dom}({\pi }_{\gamma })$이다.

반복 강제법 모형

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
• $ℐ$ 지지 $\mu$ 단계 반복 강제법 구조 $({\pi }_{\alpha }{)}_{\alpha <\mu }$
• $P_{\mu }$의 $M$-포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq P_{\mu }$

이 경우, 임의의 $\alpha \le \mu$에 대하여

$G_{\alpha }={\iota }_{\alpha \mu }^{-1}(G)\subseteq P_{\alpha }$

를 정의하자. (특히 $G_{\mu }=G$이다.) 그렇다면, 임의의 $\alpha \le \beta \le \mu$에 대하여

$M[G_{\alpha }]\subseteq M[G_{\beta }]$

이다. 즉,

$M\subseteq M[G_0]\subseteq M[G_1]\subseteq \cdots \subseteq M[G_{\omega }]\subseteq M[G_{\omega +1}]\subseteq \cdots \subseteq M[G_{\mu }]=M[G]$

이다.

역사

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움이 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.틀:Rp

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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• 틀:서적 인용
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