보렐 집합

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 보렐 집합(Borel集合, 틀:Llang)은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다.

정의

위상 공간 $(X,𝒰)$의 보렐 시그마 대수(Borelσ代數, 틀:Llang) $ℬ(X)$ 또는 ${\mathrm{\Delta }}_1^1(X)$는 열린집합들의 집합 $𝒰$를 포함하는 최소의 시그마 대수이다.틀:Rp틀:Rp (후자의 기호는 사영 위계의 표기법에서 유래한다.) $X$의 보렐 집합은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린집합으로부터 가산 번의 가산 합집합·가산 교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

보렐 측도(Borel測度, 틀:Llang)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다. 위상 공간 $X$의 보렐 가측 공간(틀:Llang)은 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이다.

보렐 위계

만약 $(X,𝒰)$가 거리화 가능 공간일 경우, 보렐 시그마 대수 ${\mathrm{\Delta }}_1^1(X)$는 초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 순서수 $\alpha >0$에 대하여, 다음과 같은 보렐 위계(Borel位階, 틀:Llang)를 정의하자.틀:Rp

${\mathrm{\Sigma }}_1^0(X)=𝒰$ (모든 열린집합들의 집합)

${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0(X)=\{X\setminus S:S\in {\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0\}$

${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0(X)=\{\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{X}_i:\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}(X_i\in {\mathrm{\Pi }}_{{\alpha }_i}^0\wedge {\alpha }_i<\alpha )\}(\alpha >1)$

${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0(X)={\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0(X)\cap {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0(X)$

그렇다면 다음이 성립한다.

• $\bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0=\bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0=\bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0={\mathrm{\Delta }}_1^1(X)$
• 임의의 순서수 $\alpha >0$에 대하여, ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0(X)\cup {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0(X)\subseteq {\mathrm{\Delta }}_{\alpha +1}^0(X)$

즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.틀:Rp

$\begin{array}{cccccccccc}& & {\mathrm{\Sigma }}_1^0& & & & {\mathrm{\Sigma }}_2^0& & & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow \\ {\mathrm{\Delta }}_1^0& & & & {\mathrm{\Delta }}_2^0& & & & {\mathrm{\Delta }}_3^0& \cdots \\ & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ & & {\mathrm{\Pi }}_1^0& & & & {\mathrm{\Pi }}_2^0& & & \cdots \end{array}$

여기서 $A\to B$는 $A\subseteq B$를 의미한다.

보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

보렐 위계의 단계	이름
${\mathrm{\Delta }}_1^0$	열린닫힌집합들의 집합
${\mathrm{\Sigma }}_1^0$	열린집합들의 집합
${\mathrm{\Pi }}_1^0$	닫힌집합들의 집합
${\mathrm{\Sigma }}_2^0$	Fσ 집합(Fσ集合, 틀:Llang)들의 집합틀:Rp틀:Rp
${\mathrm{\Pi }}_2^0$	Gδ 집합(Gδ集合, 틀:Llang)들의 집합틀:Rp틀:Rp

성질

연산에 대한 닫힘

두 위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f:X\to Y$는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 $S\subseteq Y$의 원상 $f^{-1}(S)\subseteq X$은 보렐 집합이다. (반면, 만약 $X=Y=ℝ$일 경우, 르베그 가측 집합의 연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 $X$와 $Y$가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다.

다음이 성립한다.틀:Rp

집합족	유한 교집합에 대해 닫힘	가산 교집합에 대해 닫힘	유한 합집합에 대해 닫힘	가산 합집합에 대해 닫힘	여집합에 대해 닫힘	연속 함수에 대한 상	보렐 가측 함수에 대한 원상
${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$	⭕	❌	⭕	❌	⭕	❌	❌
${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$	⭕	❌	⭕	⭕	❌	❌	❌
${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$	⭕	⭕	⭕	❌	❌	❌	❌
${\mathrm{\Delta }}_1^1$	⭕	⭕	⭕	⭕	⭕	❌	⭕

보렐 집합의 수

폴란드 공간 $X$의 보렐 집합의 수는 다음과 같다.

$|{\mathrm{\Delta }}_1^1(X)|=2^{\min \{|X|,{\mathrm{\aleph }}_0\}}$

증명:

가산 폴란드 공간은 이산 공간이므로 자명하다. 따라서, $X$가 비가산 폴란드 공간(즉, $ℝ$)라고 하자.

보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도를 생각하자. 이 경우 $|{\mathrm{\Sigma }}_1^0(ℝ)|=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$이며, 초한 귀납법의 각 단계에서

$(2^{{\mathrm{\aleph }}_0}{)}^{{\mathrm{\aleph }}_0}=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

이므로 집합의 크기는 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$을 초과하지 않는다.

반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는

$|ℒ(ℝ)|=2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$

이다. 이는 크기가 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분 집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.

분리 정리

루진-노비코프 분리 정리에 따르면, 임의의 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\{A_i{\}}_{i\in I}\subseteq {\mathrm{\Sigma }}_1^1(X)$, $|I|\le {\mathrm{\aleph }}_0$에 대하여, 만약 $\bigcap _{i\in I}{A}_i=\varnothing$이라면, $\mathrm{\forall }i\in I:B_i\supseteq A_i$이자 $\bigcap _{i\in I}{B}_i=\varnothing$인 보렐 집합들의 집합족 $\{B_i{\}}_{i\in I}\subseteq {\mathrm{\Delta }}_1^1(X)$이 존재한다.틀:Rp틀:Rp

베르 범주와의 관계

임의의 위상 공간 $X$의 임의의 제1 범주 집합 $M\subseteq X$에 대하여, $M\subseteq \tilde{M}\in {\mathrm{\Sigma }}_2^0(X)$인 제1 범주 집합 $\tilde{M}$이 존재한다.

증명:

정의에 따라, $M$은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 $\{M_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$들의 합집합으로 나타낼 수 있다.

$M=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{M}_i$

조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로,

$\tilde{M}=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}\mathrm{cl}(M_i)$

로 놓으면 자명하게 $M\in \tilde{M}\in {\mathrm{\Sigma }}_2^0(X)$이다.

준열린집합들의 집합족 $\mathrm{BP}(X)$은 열린집합과 제1 범주 집합을 포함하는 최소의 시그마 대수이므로,틀:Rp 모든 보렐 집합은 준열린집합이다.틀:Rp

${\mathrm{\Delta }}_1^1(X)\subseteq \mathrm{BP}(X)$

예

수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 $ℝ$ 속의 다음과 같은 부분 집합들의 보렐 위계에서의 위치는 다음과 같다.

• 공집합 $\varnothing$: ${\mathrm{\Delta }}_1^0(ℝ)$
• 실수 집합 $ℝ$: ${\mathrm{\Delta }}_1^0(ℝ)$
• 양의 실수 집합 ${ℝ}^{+}$: ${\mathrm{\Sigma }}_1^0(ℝ)$
• 음이 아닌 실수 집합 ${ℝ}_{\ge 0}$: ${\mathrm{\Pi }}_1^0(ℝ)$
• 정수 집합 $\mathbb{Z}$: ${\mathrm{\Pi }}_1^0(ℝ)$
• 유리수 집합 $\mathbb{Q}$: ${\mathrm{\Sigma }}_2^0(ℝ)$
• 무리수 집합 $ℝ\setminus \mathbb{Q}$: ${\mathrm{\Pi }}_2^0(ℝ)$

F_σ 집합이 아닌 열린집합

거리화 가능 공간의 모든 열린집합은 F_σ 집합이다. 그러나 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다. 최소 비가산 순서수 ${\omega }_1$은 순서 위상을 부여하면 위상 공간을 이룬다. $U$가 ${\omega }_1$의 고립점들의 집합이라고 하자. 그렇다면 $U$는 열린집합이며 비가산 집합이다. 반면 ${\omega }_1$은 가산 콤팩트 공간이므로, 닫힌집합은 유한 집합과 동치이며, 따라서 $U$는 F_σ 집합이 아니다.

보렐 집합이 아닌 집합

실수선 $ℝ$에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 $A\subseteq ℝ$가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.

• $a\in A$의 연분수 표현틀:Mindent의 계수 $a_i$ 가운데, $a_{k_i}\mid a_{k_{i+1}}$인 부분 수열 $a_{k_0},a_{k_1},\dots$이 존재한다.

그렇다면 $A$는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다.

역사

보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1905년에 도입하였다.틀:Rp틀:Rp

"F_σ 집합"이라는 용어에서, F는 틀:Llang(닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 틀:Llang(합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.틀:Rp 마찬가지로, "G_δ 집합"이라는 용어에서, G는 틀:Llang(근방)의 머리글자이며, δ는 틀:Llang(교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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같이 보기

• 기술적 집합론
• 해석적 집합
• 사영 집합