부분 정의 함수

부분 정의 함수의 예

단사 부분 정의 함수의 예

수학에서 부분 정의 함수(部分定義函數, 틀:Llang) 또는 부분 함수(部分函數, 틀:Llang)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

정의

집합 $X$와 $Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$에서 $Y$로 가는 부분 정의 함수는 정의역 $\mathrm{dom}f$이 $X$의 부분 집합이며, 공역이 $Y$인 함수 $f$이다. 이들의 집합을 $\mathrm{Pfn}(X,Y)$로 표기하자.

$\mathrm{Pfn}(X,Y)=\underset{A\subseteq X}{⨆}{Y}^A$

부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합

$X_{\bullet }=X\bigsqcup \{{\bullet }_X\}$

$Y_{\bullet }=X\bigsqcup \{{\bullet }_Y\}$

를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.

• 부분 정의 함수 $f:X\to Y$
• 점을 보존하는 함수 $f_{\bullet }:X_{\bullet }\to Y_{\bullet }$
• 함수 $f_{\bullet }{|}_X:X\to Y_{\bullet }$

이 경우

$\mathrm{dom}f=f_{\bullet }^{-1}(Y)=f_{\bullet }^{-1}(Y_{\bullet }\setminus \{{\bullet }_Y\})$

이다. 특히, $\mathrm{Pfn}(X,Y)$는 지수 집합 $Y_{\bullet }^X$와 표준적으로 일대일 대응한다.

부분 순서

$X\to Y$ 부분 정의 함수들의 집합을 $\mathrm{Pfn}(X,Y)$라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

$f\le g⟺(\mathrm{dom}f\subseteq \mathrm{dom}g\wedge g{|}_{\mathrm{dom}f}=f)$

그렇다면 $\mathrm{Pfn}(X,Y)$는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 $\kappa$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )$는 정의역의 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.틀:Rp

$\mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )=\{f\in \mathrm{Pfn}(X,Y):|\mathrm{dom}f|<\kappa \}=\underset{A\subseteq X}{\overset{|A|<\kappa }{⨆}}{Y}^A$

이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

성질

조합론적 성질

$\mathrm{Pfn}(X,Y)\cong Y_{\bullet }^X$의 크기는 다음과 같다.

$|\mathrm{Pfn}(X,Y)|=(|Y|+1{)}^{|X|}=\sum _{A\in 𝒫(X)}|Y{|}^{|A|}=\sum _{0\le \kappa \le |X|}|Y{|}^{\kappa }(\genfrac{}{}{0ex}{}{|X|}{\kappa })$

(이는 $X$, $Y$가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

$\mathrm{Pfn}(X,Y;\lambda )$의 크기는 다음과 같다.

$|\mathrm{Pfn}(X,Y;\lambda )|=\sum _{0\le \kappa <\lambda }|Y{|}^{\kappa }(\genfrac{}{}{0ex}{}{|X|}{\kappa })$

순서론적 성질

극대·극소 원소

$\mathrm{Pfn}(X,Y)$의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다. $\mathrm{Pfn}(X,Y)$의 극대 원소는 $\mathrm{dom}f=X$인 함수 $f\in Y^X\subseteq \mathrm{Pfn}(X,Y)$이다.

반사슬 조건

만약 $Y$가 가산 집합이라면, $\mathrm{Pfn}(X,Y;{\mathrm{\aleph }}_0)$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합 $X$, $Y$ 및 기수 $\kappa$가 주어졌다고 하고,

$\lambda =(|Y{|}^{<\kappa }{)}^{+}={(\underset{{\kappa }^{\prime }<\kappa }{\sup }|Y{|}^{\kappa })}^{+}$

라고 하자. 그렇다면, $\mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )$는 $\lambda$-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

포괄적 순서 아이디얼

임의의 기수 $\kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_0$ 및 $\mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )$의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq \mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 $\sup G\in \mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )$가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.틀:Rp

• 만약 ${\mathrm{\aleph }}_0\le \kappa$라면, $\mathrm{dom}\sup G=X$이다. 즉, $\sup G\in Y^X$는 ($X$ 전체에 정의된) 함수이다.

증명:

임의의 $x\in X$에 대하여, $x$에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 $D_x=\{f\in \mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa ):x\in \mathrm{dom}f\}$는 $\mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )$의 공종 집합이다. 따라서 $f\in G\cap D_x$가 존재하며, 특히 $f\le \sup G$이자 $x\in \mathrm{dom}f\subseteq \mathrm{dom}\sup G$이다.

• 만약 ${\mathrm{\aleph }}_0\le \kappa \le |X|$라면, $\mathrm{im}\sup G=Y$이다. 즉, $\sup G\in Y^X$는 전사 함수이다.

증명:

임의의 $y\in Y$에 대하여, $y$가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 $D_y=\{f\in \mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa ):y\in \mathrm{im}f\}$는 $\mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )$의 공종 집합이다. 따라서 $f\in G\cap D_y$가 존재하며, 특히 $f\le \sup G$이자 $y\in \mathrm{im}f\subseteq \mathrm{im}\sup G$이다.

범주론적 성질

다음과 같은 범주 $\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part}}$를 생각하자.

• $\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part}}$의 대상은 집합이다.
• 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 사상 $f:X\to Y$은 부분 정의 함수 $f\in \mathrm{Pfn}(X,Y)$이다.

그렇다면, $\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part}}$는 점을 가진 집합의 범주 ${\mathrm{Set}}_{\bullet }$와 동치이다.틀:Rp

$\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part}}\simeq {\mathrm{Set}}_{\bullet }$

다음과 같은 범주 $\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part,inj}}$를 생각하자.

• $\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part}}$의 대상은 집합이다.
• 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 사상 $f:X\to Y$은 단사 부분 정의 함수 $f\in \mathrm{Pfn}(X,Y)$이다. (즉, 이는 $X$의 부분 집합과 $Y$의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

그렇다면 $\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part,inj}}$는 스스로의 반대 범주와 동치이다.틀:Rp

$\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part,inj}}\simeq {\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{part,inj}}}^{\mathrm{op}}$

강제법적 성질

(편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC의 가산 표준 추이적 모형 $M$ 및 $X,Y\in M$과 $\kappa \in {\mathrm{Card}}^M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 $M$ 속에서 $\mathrm{Pfn}(X,Y,\kappa {)}^M\in M$을 구성할 수 있다. 그렇다면, $M$에 $\mathrm{Pfn}(X,Y,\kappa {)}^M$의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq \mathrm{Pfn}(X,Y,\kappa {)}^M$를 추가한 강제법 모형 $M[G]$를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

구체적으로, $S\in M$에 대하여 $X=S\times \mathbb{N}$이자 $Y=\{0,1\}$, $\kappa ={\mathrm{\aleph }}_0$이라고 놓자. (${\mathrm{\aleph }}_0=\mathbb{N}=\omega$는 절대적이다.) 또한

$M\models |S|\ge {\mathrm{\aleph }}_2$

라고 하자. 즉,

$|S|\ge {\omega }_2^M$

이라고 하자. (여기서 ${\omega }_1^M\in {\mathrm{Ord}}^M=\mathrm{Ord}\cap M$은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면

$M[G]\models \mathrm{\neg }𝖢𝖧$

임을 보일 수 있다틀:Rp ($𝖢𝖧$는 연속체 가설).

증명:

순서 아이디얼 조건에 의하여 $\sup G\in G$이며, 또한 $\sup G$는 포괄성 조건에 따라서 사실 $X=S\times \mathbb{N}$ 전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.

$H={(\sup G)}^{-1}(1)\subseteq S\times \mathbb{N}$

$H_s=\{n\in \mathbb{N}:(s,n)\in H\}\subseteq \mathbb{N}(s\in S)$

그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.

• $H_s\in ̸M$
• $s\ne t⟹H_s\ne H_t$
• $H_s\in M[G]$

따라서, $\{H_s{\}}_{s\in S}$는 $\mathbb{N}$의 $|S|$개의 부분 집합들을 이루며, 따라서

$M[G]\models 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ge |S|$

이다.틀:Rp

이제, $M$ 속에서 $\mathrm{Pfn}(X,Y,\kappa {)}^M$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 $|S|$의 크기는 $M$과 $M[G]$ 속에서 같으며, 따라서

$M[G]\models 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ge |S|>{\mathrm{\aleph }}_0$

이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
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