연속체 가설

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 연속체 가설(連續體假說, 틀:Llang, 약자 CH)은 실수 집합의 모든 부분 집합은 가산 집합이거나 아니면 실수 집합과 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

정의

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 연속체 가설이라고 한다.

• ${\mathrm{\aleph }}_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\beth }_1$. 즉, ${\mathrm{\aleph }}_0$(가산 무한 집합의 크기)과 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다.
• 임의의 실수의 집합 $S\subseteq ℝ$에 대하여, $S$가 가산 집합이 아니라면, $|S|=ℝ$이다.
• 다항식환 $ℂ[x,y,z]$ 위의 유리 함수 가군 $ℂ(x,y,z)$의 사영 차원이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 사영 차원은 3이다.)틀:Rp
• 가산 개의 체들의 직접곱의 대역 차원은 항상 2이다.틀:Rp
• (웨첼 문제 틀:Llang) 다음 두 조건을 만족시키는 전해석 함수들의 족 $\{f_i:ℂ\to ℂ{\}}_{i\in I}$이 존재한다.
  • 임의의 $z\in ℂ$에 대하여, $\{f_i(z){\}}_{i\in I}$는 가산 집합이다.
  • $\{f_i{\}}_{i\in I}$는 비가산 집합이다.

다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 일반화 연속체 가설(一般化連續體假說, 틀:Llang, 약자 GCH)이라고 한다.

• 임의의 순서수 $\alpha \in \mathrm{Ord}$에 대하여, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}=2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$. 여기서 $\mathrm{\aleph }$는 알레프 수이다.
• 임의의 순서수 $\alpha \in \mathrm{Ord}$에 대하여, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\beth }_{\alpha }$. 여기서 $\beth$는 베트 수이다.
• 임의의 무한 기수 $\kappa$에 대하여, $\kappa <\lambda <2^{\kappa }$인 기수 $\lambda$가 존재하지 않는다.
• 임의의 기수 $\kappa$에 대하여, $|\{A\subseteq \kappa :|A|\in S\}|={\kappa }^{+}$가 되는 기수 집합 $S\subset \mathrm{Card}$가 존재한다. (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.) 여기서 ${\kappa }^{+}=\min \{\lambda \in \mathrm{Card}:\kappa <\lambda \}$이다.

프라일링 대칭 공리

집합 $X$와 기수 $\kappa$에 대하여, 다음과 같은 명제 $𝖠𝖷(X,\kappa )$를 생각하자.

임의의 함수 $f:X\to {𝒫}_{\le \kappa }(X)$에 대하여, $x\in ̸f(y)$이자 $y\in ̸f(x)$가 성립하는 $x,y\in X$가 존재한다.

여기서 ${𝒫}_{\le \kappa }(X)=\{S\subseteq X:|S|\le \kappa \}$는 크기가 $\kappa$ 이하의 $X$의 부분 집합들로 구성된 집합족이다. 그렇다면, $𝖹𝖥𝖢$ 아래 다음이 성립한다.

$𝖠𝖷(2^{\kappa },\kappa )⟺2^{\kappa }\ne {\kappa }^{+}$

즉, $\mathrm{\neg }𝖢𝖧⟺𝖠𝖷(2^{{\mathrm{\aleph }}_0},{\mathrm{\aleph }}_0)$이며, $\mathrm{\neg }𝖦𝖢𝖧⟺\mathrm{\forall }\kappa \in \mathrm{Card}:𝖠𝖷(2^{\kappa },\kappa )$이다. 특히, $𝖠𝖷(2^{{\mathrm{\aleph }}_0},{\mathrm{\aleph }}_0)$를 프라일링 대칭 공리(틀:Llang)라고 한다. 이는 크리스토퍼 프랜시스 프라일링(틀:Llang)이 도입하였다. 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다.

성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에 알려진 모든 큰 기수 공리를 추가하여도, (일반화) 연속체 가설은 여전히 독립적이다.

연속체 가설을 함의하는 명제

ZFC에 구성 가능성 공리($V=L$)를 추가하면, 일반화 연속체 가설이 참이다.

연속체 가설의 부정을 함의하는 명제

윌리엄 휴 우딘은 소위 오메가 논리(틀:Llang)를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며, 사실

${\mathrm{\aleph }}_2=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

이라는 논의를 폈다. 물론, 이는 수학적인 증명이 아니다. 우딘의 논의는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다.

고유 강제법 공리(틀:Llang)를 가정하면,

$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_2$

이므로, 역시 연속체 가설이 부정된다.

(일반화) 연속체 가설이 함의하는 명제

연속체 가설은 마틴 공리를 자명하게 함의한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 추가하면, 선택 공리를 증명할 수 있다.

일반화 연속체 가설은 기수의 산술을 완전히 결정한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 다음이 성립한다.틀:Rp

${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\aleph }}_{\beta +1}& \alpha \le \beta +1\\ {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }& \beta +1<\alpha ,{\mathrm{\aleph }}_{\beta }<\mathrm{cf}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })\\ {\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}& \beta +1<\alpha ,{\mathrm{\aleph }}_{\beta }\ge \mathrm{cf}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })\end{array}$

여기서 $\mathrm{cf}$는 기수의 공종도이다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 모든 기수 $\kappa$에 대하여, 기멜 함수는 다음과 같다.

$\gimel (\kappa )={\kappa }^{+}$

또한, 특이 기수 가설이 (자명하게) 성립하게 된다.

커플랜스키 추측(틀:Llang)은 다음과 같은 명제이다.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의, 복소수 값의 연속 함수들의 복소수 바나흐 대수 ${𝒞}^0(X,ℂ)$를 생각하자. 임의의 복소수 바나흐 대수 $B$ 및 임의의 복소수 대수 준동형 $f:{𝒞}^0(X,ℂ)\to B$은 복소수 바나흐 대수 사상이다 (즉, 연속 함수이다).

이는 어빙 커플랜스키가 제시하였다. 만약 ZFC가 무모순적이라면 이 명제는 ZFC와 독립적이다.틀:Rp 연속체 가설은 커플랜스키 추측의 부정을 함의한다.

역사

게오르크 칸토어

연속체 가설은 게오르크 칸토어가 처음 제기하였다. 칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다. 다비트 힐베르트는 1900년 세계 수학자 대회에서 연속체 가설을 힐베르트의 문제들의 1번 문제로 선정하였다.틀:Rp 1905년에 영국의 수학자 필립 조던(틀:Llang)이 일반화 연속체 가설을 제기하였다.

연속체 가설에 대하여 틀:임시링크는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

쿠르트 괴델

쿠르트 괴델은 1938년에 일반화 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 반증할 수 없다는 것을 보였다. 구체적으로, 괴델은 구성 가능 전체가 ZFC의 모형이며, 이 모형에서는 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다. 폴 코언은 1963년에 강제법을 도입하여, 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다는 것을 보였다. 이 공로로 코언은 1966년 필즈상을 수상하였다.

1980년대의 집합론자들의 의견에 대하여 틀:임시링크는 1988년에 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

2006년에 얀 미치엘스키는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

같이 보기

• 절대적 무한
• 베트 수
• 집합의 크기

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
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