추이적 집합

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 추이적 집합(推移的集合, 틀:Llang)은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

정의

집합 $X$에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.

• 임의의 $B\in A\in X$에 대하여, $B\in X$
• 임의의 $A\in X$에 대하여, $A\subseteq X$
• $\bigcup X\subseteq X$
• $X\subseteq 𝒫(X)$

마찬가지로, 추이적 모임(틀:Llang)을 정의할 수 있다.

집합 $X$의 추이적 폐포(틀:Llang)는 $X$를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.

$\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\stackrel{𝑛}{\overbrace{\mathrm{\bigcup }\mathrm{\cdots }\mathrm{\bigcup }}}X=X\cup \bigcup X\cup \bigcup \bigcup X\cup \cdots$

초추이적 집합

집합 $X$에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $A\in X$에 대하여, 만약 $B\subseteq A$ 또는 $B\in A$라면, $B\in X$
• 임의의 $A\in X$에 대하여, $A\cup 𝒫(A)\subseteq X$

초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수 $\alpha$에 대하여, 다음과 같은 누적 위계

${𝒫}^{\alpha }(X)=\{\begin{array}{cc}𝒫({𝒫}^{\beta }(X))& \mathrm{\exists }\beta :\beta +1=\alpha \\ X\cup \bigcup _{\gamma <\alpha }{𝒫}^{\gamma }(X)& \nexists \beta :\beta +1=\alpha \end{array}$

를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 $\alpha$-초추이적 집합(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $A\in X$ 및 순서수 $\beta <\alpha$에 대하여, ${𝒫}^{\beta }(A)\subseteq X$

즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합 $X$의 $\alpha$-초추이적 폐포는 $X$를 포함하는 가장 작은 $\alpha$-초추이적 집합이며, 다음과 같다.

$X\cup Q(X)\cup Q(Q(X))\cup \cdots$

$Q(X)=\bigcup _{A\in X}\bigcup _{\beta <\alpha }{𝒫}^{\beta }(A)$

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 추이적 집합 $X$에 대하여, $\bigcup X$와 $X\cup \{X\}$ 역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족 $𝒳$에 대하여, $\bigcup 𝒳$와 $\bigcap 𝒳$ 역시 추이적 집합이다.

자명하지 않은 동형의 부재

추이적 모임과 원소 관계로 이루어진 구조 사이의 동형 사상은 항등 함수밖에 없다. 즉, 추이적 모임 사이의 전단사 함수 $f:X\to Y$가

$A\in B\in X⟺f(A)\in f(B)\in Y$

를 만족시킨다면, $X=Y$이며, $f={\mathrm{id}}_X$이다.틀:Rp 이는 정칙성 공리를 사용하여 보일 수 있다. 특히, 폰 노이만 전체는 자명하지 않은 자기 동형 사상을 갖지 않는다. 틀:증명 임의의 $A\in X$에 대하여, $f(A)=A$를 보이는 것으로 충분하다. 정칙성 공리에 의하여, 모든 모임이 정초 모임임을 보일 수 있으며, 따라서 $(X,\in )$ 위에서 초한 귀납법을 사용할 수 있다. 이제, 임의의 $B\in A$에 대하여 $f(B)=B$라고 가정하자. 다음 두 가지를 보이면 족하다.

• $A\subseteq f(A)$
  • 임의의 $B\in A$에 대하여, $B=f(B)\in f(A)$이다.
• $f(A)\subseteq A$
  • 임의의 $f(B)\in f(A)$에 대하여, $B\in A$이므로, $f(B)=B\in A$이다.

예

순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 $V_{\alpha }$는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 $V$는 추이적 고유 모임이다.

구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 $L_{\alpha }$는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체 $L$은 추이적 고유 모임이다.

응용

추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.

같이 보기

• 추이적 관계

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용틀:깨진 링크