절대 논리식

틀:위키데이터 속성 추적 모형 이론에서 절대 논리식(絶對論理式, 틀:Llang)은 모든 모형에서 참인 논리식이다.

정의

절대 문장

1차 논리 언어 $ℒ$의 구조들의 모임 $ℳ$이 주어졌다고 하자. (예를 들어, $ℳ$은 어떤 $ℒ$의 문장들의 집합 $𝒯\subseteq \mathrm{Sent}(ℒ)$이 성립하는 $ℒ$-구조들의 모임일 수 있다.)

1차 논리 언어 $ℒ$의 문장 $\varphi \in \mathrm{Sent}(ℒ)$이 다음 조건을 만족시킨다면, $ℳ$ 속에서 절대 문장(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 두 $ℒ$-구조 $M,M^{\prime }\in ℳ$에 대하여, $M\models \varphi ⟺M^{\prime }\models \varphi$이다. 즉, $ℳ$에 속하는 모든 구조에서 동시에 참이거나 동시에 거짓이다.

상향·하향 절대 논리식

1차 논리 언어 $ℒ$의 구조 $M$이 주어졌다고 하자.

$ℒ$-논리식 $\varphi (x_1,\dots ,x_n)\in \mathrm{wff}(ℒ)$가 $n$개의 자유 변수 $x_1,\dots ,x_n$를 갖는다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, $\varphi$가 $M$-하향 절대 논리식(틀:Llang)이라고 한다.

$M$의 임의의 $ℒ$-부분 구조 $M^{\prime }\subseteq M$ 및 임의의 $m_1,m_2,\dots ,m_n\in M^{\prime }$에 대하여, $M\models \varphi [m_1,\dots ,m_n]⟹M^{\prime }\models \varphi [m_1,\dots ,m_n]$이다.

마찬가지로, 만약 다음 조건이 성립한다면, $\varphi$가 $M$-상향 절대 논리식(틀:Llang)이라고 한다.

$M$을 부분 구조로 포함하는 임의의 $ℒ$-구조 $(M^{\prime },\in )$ 및 임의의 $m_1,m_2,\dots ,m_n\in M$에 대하여, $M\models \varphi [m_1,\dots ,m_n]⟸M^{\prime }\models \varphi [m_1,\dots ,m_n]$이다.

추이적 절대 논리식

집합론의 명제의 경우, 폰 노이만 전체 $V$는 집합론의 언어 ${ℒ}_{\in }$의 고유 모임 구조이다. 이 경우, ${ℒ}_{\in }$-논리식 $\varphi (x_1,\dots ,x_n)\in \mathrm{wff}({ℒ}_{\in })$이 다음 조건을 만족시킨다면, $\varphi$가 추이적 절대 논리식이라고 한다.틀:Rp

$𝖹𝖥𝖢$의 표준 추이적 모형 $M\in ℳ$ 및 집합 $m_1,\dots ,m_k\in M$에 대하여, $(M\models \varphi [m_1,\dots ,m_k])⟺\varphi [m_1,\dots ,m_k]$

예

다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이다.

• $x=\varnothing$
• $x$는 (폰 노이만 정의) 순서수이다.
• $x$는 유한 순서수이다.
• $x=\omega$
• $x$는 함수의 그래프이다.

다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이 아니다.

• $x$는 가산 집합이다.

숀필드 절대성 정리

체르멜로-프렝켈 집합론($𝖹𝖥$)의 모형 $M$이 주어졌을 때, 그 속의 자연수 집합 ${\mathbb{N}}^M$은 페아노 공리계의 모형을 이룬다. 체르멜로-프렝켈 집합론($𝖹𝖥$)의 표준 추이적 모형 $M$과, 그 속의 구성 가능 전체 $L^M\subseteq M$를 생각하자. 그렇다면, $L^M$을 포함하는, $M$의 부분 구조 가운데 $𝖹𝖥$의 모형인 것들의 집합

$\{M^{\prime }\subseteq M:L^M\subseteq M^{\prime },M^{\prime }\models 𝖹𝖥\}$

을 생각하자. 그렇다면 이 모형들의 자연수 집합들

$𝒩=\{{\mathbb{N}}^{M^{\prime }}\subseteq M:L^M\subseteq M^{\prime },M^{\prime }\models 𝖹𝖥\}$

을 생각할 수 있다.

숀필드 절대성 정리(틀:Llang)에 따르면, 페아노 공리계의 언어의 ${\mathrm{\Pi }}_2^1$ 문장과 ${\mathrm{\Sigma }}_2^1$ 문장들은 $𝒩$에 대하여 절대 문장이다.

같이 보기

• 보존적 확장