구성 가능 전체

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 구성 가능 전체(構成可能全體, 틀:Llang)는 재귀적으로 1차 논리로 정의 가능한 집합들로 구성된 모임이다. 구성 가능 전체는 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형을 이루며, 그 속에는 선택 공리 · 일반화 연속체 가설 · 다이아몬드 원리와 같은 여러 명제들이 성립한다. 구성 가능성 공리(構成可能性公理, 틀:Llang, 기호 $V=L$)는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다.

정의

모임 $A_1,A_2,\dots ,A_n$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1항 관계 ${𝖠}_1(-),\dots ,{𝖠}_n(-)$가 추가된 언어 ${ℒ}_{\in ,{𝖠}_1,\dots ,{𝖠}_n}$의 모형 $⟨X,\in ,{𝖠}_1,\dots ,{𝖠}_n⟩$를 생각하자. 이 모형에서 ${𝖠}_i(x)$의 해석은 $x\in A_i$이며, $x\in y$의 해석은 표준적이다 (즉, 추이적 모형이다).

그렇다면, 집합 $X$의 $(A_1,\dots ,A_n)$-구성 가능 멱집합(-構成可能冪集合, 틀:Llang) ${\mathrm{Def}}_{A_1,\dots ,A_n}(X)$는 유한 개의 매개 변수를 이용하여 ${ℒ}_{\in ,{𝖠}_1,\dots ,{𝖠}_n}$ 언어의 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 $X$의 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 관계 $\in$ 및 1항 관계 ${𝖠}_1,\dots ,{𝖠}_n$에 대한, $n+1$개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 $\varphi \in {ℒ}_{\in ,{𝖠}_1,\dots ,{𝖠}_n}$ 및 $x_1,\dots ,x_n\in X$에 대하여, 다음과 같다.

$\mathrm{Def}(X)=\{\{y\in X:⟨X,\in ,{𝖠}_1,\dots ,{𝖠}_n⟩\models \varphi (y,x_1,\dots ,x_n)\}:\varphi \in {ℒ}_{\in },x_1,\dots ,x_n\in X\}$

정의 가능 멱집합 연산 ${\mathrm{Def}}_{A_1,\dots ,A_n}$은 집합을 그 멱집합의 부분 집합으로 대응시키며, 따라서 누적 위계를 정의한다.

추이적 집합 $X$가 주어졌을 때, ${\mathrm{Def}}_{A_1,\dots ,A_n}$에 의하여 정의되는 누적 위계를 $L_{\alpha }[A_1,\dots ,A_n](X)$로 표기하며, 구성 가능 위계(틀:Llang)라고 한다. 흔히 $X=\varnothing$일 경우 $L[A_1,A_2,\dots ,A_n](\varnothing )=L$로 표기하며, $n=0$일 경우 흔히 $L(X)$로 표기한다. (일부 문헌에서는 $L(X)$를 대신 $L(\{X\}\cup X)$로 정의한다. 물론, 만약 $X\in L$이라면 이는 차이가 없다.) $L$의 원소를 구성 가능 집합(構成可能集合, 틀:Llang)이라고 한다.

$L(-)$과 $L[-]$의 차이에 대하여 가나모리 아키히로는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

일반적으로 다음이 성립한다.

$\mathrm{Def}(X)\subseteq {\mathrm{Def}}_A(X)\subseteq 𝒫(X)$

물론, 만약 $A\cap X\in \mathrm{Def}(X)$라면

${\mathrm{Def}}_A(X)=\mathrm{Def}(X)$

이다.

항상

$\{Y\subseteq X:|Y|<{\mathrm{\aleph }}_0\}\subseteq \mathrm{Def}(X)$

$\{Y\subseteq X:|X\setminus Y|<{\mathrm{\aleph }}_0\}\subseteq \mathrm{Def}(X)$

이다. 특히, 만약 $X$가 유한 집합이라면 임의의 $A$에 대하여

$\mathrm{Def}(X)={\mathrm{Def}}_A(X)=𝒫(X)$

이다.

$\mathrm{Def}(X)$ 및 ${\mathrm{Def}}_A(X)$는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있어, $𝒫(X)$의 부분 불 대수를 이룬다.

구성 가능 전체

항상 다음이 성립한다.

$X\subseteq L(X)$

그러나 $X\in L(X)$일 필요는 없으며, $A\subseteq L[A]$이거나 $A\in L[A]$일 필요는 없다.

각 순서수 $\alpha$에 대하여

$L_{\alpha }\subseteq V_{\alpha }$

$L_{\alpha }\subseteq L_{\alpha }(A)[X]$

이다. 또한, 만약 $\alpha$가 유한하다면 $L_{\alpha }=V_{\alpha }$이다.

구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, $V=L$이라는 명제이다 ($V$는 폰 노이만 전체). 즉, 구성 가능성 공리에 따르면 임의의 집합 $S$에 대하여 $S\in L_{\alpha }$인 순서수 $\alpha$가 존재한다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 $\alpha$에 대하여 $\alpha ={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$라면,

$L_{\alpha }=V_{\alpha }$

이다. (예를 들어, 이는 $\alpha$가 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)

모형 이론적 성질

$L$은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 $V$의 내부 모형이다. 특히, $V$에서 선택 공리가 성립하지 않아도, $L$은 선택 공리를 만족시킨다. 이는 $L$은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, $L_{\alpha }$의 정렬 순서가 주어졌다면, $L_{\alpha +1}$의 원소는 $L_{\alpha }$의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다.

또한, $L$에서는 다음 명제들이 성립한다. (따라서 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리는 아래 명제들을 함의한다.)

• 선택 공리
• 일반화 연속체 가설 $𝖦𝖢𝖧$
• 구성 가능성 공리 $V=L$
• 수슬린 가설의 부정 $\mathrm{\neg }𝖲𝖧$
• 모든 화이트헤드 군은 자유 아벨 군
• 모든 집합은 순서수 정의 가능 집합 $V=𝖧𝖮𝖣$
• 다이아몬드 원리 $\mathrm{♢}$
• $0^{\mathrm{\#}}$의 부재 (또한 그보다 더 강한 큰 기수의 부재)
• 르베그 가측 집합이 아닌 해석적 집합의 존재

$L$은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다.

• $V$의 내부 모형이다.
• 모든 순서수들을 포함한다.

다시 말해, 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 선택 공리를 비롯한 위 명제들을 증명할 수 있다. 특히, 구성 가능성 공리가 큰 기수들의 존재와 모순되기 때문에, 플라톤주의적 수리철학 아래 보통 구성 가능성 공리는 집합론의 공리로 가정되지 않는다. 이에 대하여 퍼넬러피 매디(틀:Llang)는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 마찬가지로, 이에 대하여 가나모리 아키히로와 메나헴 마기도르는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

역사

1935년 가을에 쿠르트 괴델이 구성 가능 전체 $L$을 도입하였으며,틀:Rp틀:Rp 이를 통하여 이 선택 공리 및 일반화 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 증명하였다. 이 결과는 1938년에 출판되었다.틀:Rp

$L(X)$는 1956년에 허이널 언드라스(틀:Llang, 1931~)가 도입하였으며,틀:Rp $L[A]$는 1957년에 아즈리엘 레비가 도입하였다.틀:Rp

이후 1972년에 로널드 비언 젠슨(틀:Llang)이 구성 가능 전체의 미세 구조(틀:Llang)의 이론을 젠슨 위계(틀:Llang)를 통해 정립하였다.

같이 보기

• 구성 가능성 공리
• 추이적 집합

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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