가해군
틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 가해군(可解群, 틀:Llang)은 아벨 군들만을 사용한 군의 확대로 나타낼 수 있는 군이다.
정의
을 가지고, 또한 모든 가 아벨 군이라면 를 가해군이라고 한다.
을 가지고, 또한
이며 모든 가 순환군이라면 를 초가해군(超可解群, 틀:Llang)이라고 한다. 모든 초가해군은 가해군이나, 그 역은 성립하지 않는다.
성질
군 와 정규 부분군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 가해군이다.
- 과 몫군 은 모두 가해군이다.
가해군의 부분군은 가해군이다. 두 가해군의 반직접곱은 가해군이다. (특수한 경우로, 유한 개의 가해군의 직접곱은 가해군이다.) 두 가해군의 화환곱은 가해군이다.
예
모든 아벨 군은 (자명하게) 가해군이다. 모든 멱영군은 가해군이다.
가해 유한군
가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 60인) 교대군 이다. 다시 말해, 크기가 59 이하인 모든 군은 가해군이다. 가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. 틀:OEIS
- 60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, …
초가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 12인) 교대군 이다. 초가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. 틀:OEIS
- 12, 24, 36, 48, 56, 60, 72, 75, 80, 84, 96, 108, 112, 120, 132, …
주어진 크기의 초가해군의 수는 다음과 같다. 틀:OEIS
- 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 14, …
즉, 예를 들어 크기가 4인 초가해군은 두 개(4차 순환군 및 클라인 4원군)가 있다.
파이트-톰프슨 정리에 따르면, 크기가 홀수인 모든 유한군은 가해군이다.
번사이드 정리에 따르면, 크기가
의 꼴인 유한군은 가해군이다. 여기서 는 소수이고, 는 음이 아닌 정수다.
가해 리 군
리 대수가 가해 리 대수인 연결 리 군은 가해군을 이룬다. 예를 들어, 실수 또는 복소수 상삼각 행렬들의 리 군은 가해 리 군이다.
모든 유한 차원 연결 가해 리 군은 유클리드 공간과 미분동형이다.
역사
가해군의 개념은 갈루아 이론에서 최초로 등장하였다. 갈루아 이론에서, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대는 거듭제곱근으로 풀 수 있기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 오늘날 가해군의 개념은 갈루아 이론뿐만 아니라 군론 전반적으로 널리 쓰인다.