폰트랴긴 특성류

틀:위키데이터 속성 추적 위상수학에서 폰트랴긴 특성류(Понтрягин特性類, 틀:Llang)는 실수 벡터 다발의 특성류의 하나다. 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.

정의

$E$가 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $n$차원 실수 벡터 다발이라고 하자. 실수 벡터 다발 $E$가 $\mathrm{SO}(n)$-주다발인 틀다발 $P\twoheadrightarrow M$의 연관 벡터 다발이라고 하자.

구체적 정의

$P$의 주곡률 $F$를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 $𝔰𝔬(\dim E)$의 값을 갖는 2차 미분 형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

$\det (I+tF/2\pi )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^{2k}{p}_k(E)$.

우변에서 $k$가 홀수인 항들은 $F$의 반대칭성에 의하여 사라진다. $p_k$는 미분 형식으로 간주하면 $E$의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론(틀:Lang)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 $p_k\in H^{4k}(M,\mathbb{Q})$는 실수 벡터 다발 $E$의 위상수학적 불변량이다. 이를 $k$차 폰트랴긴 특성류라고 한다.

총 폰트랴긴 특성류(틀:Lang) $p$는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉

$p=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k(E)=\det (I+F/2\pi )\in H^{\bullet }(M,\mathbb{Q})$

이다.

추상적 정의

$\mathrm{O}(n)$-주다발 $P$는 분류 공간 $\mathrm{BO}(n)$으로 가는 연속 함수

$f:M\to \mathrm{BO}(n)$

의 호모토피류로 분류된다. 그런데 직교군은 유니터리 군의 부분군이다.

$\iota :\mathrm{O}(n)\hookrightarrow \mathrm{U}(n)$

따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.

$\mathrm{B}\iota :\mathrm{BO}(n)\to \mathrm{BU}(n)$

(이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.) $\mathrm{BU}(n)$ 위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류

$c_k\in {\mathrm{H}}^{2k}(\mathrm{BU}(n))$

가 존재한다. 이를 당김으로서 $\mathrm{BO}(n)$ 위에 정의할 수 있는데, 이 경우

$(\mathrm{B}\iota {)}^{*}{c}_{2k+1}=0\in {\mathrm{H}}^{4k+2}(\mathrm{BO}(n))$

이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) 폰트랴긴 특성류라고 한다.

$p_k=(-{)}^k(\mathrm{B}\iota {)}^{*}{c}_{2k}\in {\mathrm{H}}^{4k}(\mathrm{BO}(n))$

이 경우, $E$의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김

$p_k(E)=f^{*}{p}_k\in {\mathrm{H}}^{4k}(M)$

이다.

성질

서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다. 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.

천 특성류와의 관계

폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.

직교군과 유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.

$\mathrm{O}(n)\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }\mathrm{U}(n)\stackrel{{\iota }^{\prime }}{\hookrightarrow }\mathrm{O}(2n)$

이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류)

$\mathrm{BO}(n)\stackrel{\mathrm{B}\iota }{\hookrightarrow }\mathrm{BU}(n)\stackrel{\mathrm{B}{\iota }^{\prime }}{\hookrightarrow }\mathrm{BO}(2n)$

를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.

${\mathrm{p}}_k=(-)(\mathrm{B}\iota {)}^{*}{\mathrm{c}}_k\in {\mathrm{H}}^{4k}(\mathrm{BO}(n))$

$(-{)}^k(\mathrm{B}{\iota }^{\prime }{)}^{*}{\mathrm{p}}_k=\sum _{i+j=2k}(-{)}^i{\mathrm{c}}_i{\mathrm{c}}_j\in {\mathrm{H}}^{4k}(\mathrm{BU}(n))$

이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다.

• 사상 $\mathrm{B}\iota :\mathrm{BO}(n)\to \mathrm{BU}(n)$는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.
• 사상 $\mathrm{B}{\iota }^{\prime }:\mathrm{BU}(n)\to \mathrm{BO}(2n)$은 복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다.

즉, 실수 벡터 다발 $E$의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 $E\otimes ℂ$의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\mathrm{p}}_k(E)=(-{)}^k{\mathrm{c}}_{2k}(E\otimes ℂ)\in {\mathrm{H}}^{4k}(M)$

천 특성류 $c_k$는 $2k$차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 $p_k$는 $4k$차 코호몰로지 원소이다. ($E\otimes ℂ$의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)

반대로, 복소수 벡터 다발 $E$의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다.

${\mathrm{p}}_k(E)=(-{)}^k\sum _{i+j=2k}(-{)}^i{\mathrm{c}}_i(E){\mathrm{c}}_j(E)\in {\mathrm{H}}^{4k}(M)$

분수 폰트랴긴 특성류

$M$ 위의 $n$차원 유향 실수 벡터 다발 $E$의 스핀 구조는 그 구조군을 특수 직교군에서 스핀 군으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.

$\begin{array}{ccc}& & \mathrm{BSpin}(n)\\ & \nearrow & \mathrm{B}q\downarrow \mathrm{B}q\\ M& \to & \mathrm{BSO}(n)\end{array}$

여기서 $\mathrm{B}q$는 몫사상

$q:\mathrm{Spin}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)$

에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상

$\mathrm{B}q:\mathrm{BSpin}(n)\to \mathrm{BSO}(n)$

이다.

이 경우, 스핀 군은 단일 연결 단순 리 군이므로

${\pi }_i(\mathrm{Spin}(n))=0(i<3)$

${\pi }_3(\mathrm{Spin}(n))=\mathbb{Z}$

이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간의 호모토피 군은

${\pi }_i(\mathrm{BSpin}(n))=0(i<4)$

${\pi }_4(\mathrm{Spin}(n))=\mathbb{Z}$

이므로, 후레비치 준동형이 동형이며,

${\mathrm{H}}^4(\mathrm{BSpin}(n))=\mathbb{Z}$

이다. 따라서, 그 생성원을 $\alpha$라고 하자. 그렇다면,

$(\mathrm{B}q{)}^{*}{\mathrm{p}}_1=2\alpha \in {\mathrm{H}}^4(\mathrm{BSpin}(n))$

임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,

${\mathrm{p}}_1(E)=2\cdot (\frac{1}{2}{\mathrm{p}}_1(E))\in 2{\mathrm{H}}^4(M)$

가 되는 특성류

$\frac{1}{2}{\mathrm{p}}_1(E)\in {\mathrm{H}}^4(M)$

를 정의할 수 있다. 이를 1차 분수 폰트랴긴 특성류(一次分數Понтрягин特性類, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

마찬가지로, 만약 $E$가 끈 구조(틀:Llang)를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림

$\begin{array}{ccc}& & \mathrm{BString}(n)\\ & \nearrow & \mathrm{B}q\downarrow \mathrm{B}q\\ M& \to & \mathrm{BSO}(n)\end{array}$

이 존재한다면, 2차 분수 폰트랴긴 특성류(二次分數Понтрягин特性類, 틀:Llang)

$\frac{1}{6}{\mathrm{p}}_2(E)\in {\mathrm{H}}^8(E)$

가 존재한다.틀:Rp 여기서 $\mathrm{String}(n)$은 끈 군이다.

예

낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.

${\mathrm{p}}_0=1$

${\mathrm{p}}_1=-\frac{1}{2(2\pi {)}^2}\mathrm{tr}{F}^2$

${\mathrm{p}}_2=\frac{1}{8(2\pi {)}^4}((\mathrm{tr}{F}^2{)}^2-2\mathrm{tr}{F}^4)$

역사

러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다. 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.

같이 보기

• 천-사이먼스 형식

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab