슈티펠-휘트니 특성류

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel-Whitney特性類, 틀:Llang)는 실수 벡터 다발을 분류하는 유한체 ${𝔽}_2$ 계수 특성류이다. 이는 복소수 벡터 다발이 천 특성류에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다.

정의

위상 공간 $X$ 위의 실수 유한 차원 벡터 다발 $E$의 슈티펠-휘트니 특성류

$w(E)\in {\mathrm{H}}^{\bullet }(X;{𝔽}_2)$

는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 특성류이다.

• (직합의 분해) 임의의 벡터 다발 $E,E^{\prime }\twoheadrightarrow X$에 대하여, $w(E\oplus E^{\prime })=w(E)⌣w(E^{\prime })$
• (당김) 임의의 연속 함수 $X\to Y$에 대하여, $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$
• (계수) $w(E)\in {\mathrm{H}}^{\le {\dim }_{ℝ}E}(X)$이며, $w_0(E)=1$이다.
• (규격화) 실수 사영 직선 ${ℝ\mathbb{P}}^1$의 자명 선다발 ${𝒪}_{{ℝ\mathbb{P}}^1}(-1)$의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉, ${ℝ\mathbb{P}}^1$의 코호몰로지 환이 ${\mathrm{H}}^{\bullet }({ℝ\mathbb{P}}^1;{𝔽}_2)\cong {𝔽}_2[x]/(x^2)$, $\mathrm{deg}x=1$이라면 $w({𝒪}_{{ℝ\mathbb{P}}^1}(-1))=1+x$이다.

이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다.

정수 슈티펠-휘트니 특성류

아벨 군의 짧은 완전열

$0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\to 0$

에 대한 복시테인 준동형

$\beta :{\mathrm{H}}^{\bullet }(X;{𝔽}_2)\to {\mathrm{H}}^{\bullet +1}(X;\mathbb{Z})$

를 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$의 정수 슈티펠-휘트니 특성류 $\beta w$는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 상이다.

$\beta w(E)\in {\mathrm{H}}^{\le {\dim }_{ℝ}E+1}(X;\mathbb{Z})$

우 특성류

유한 차원 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$의 우 특성류([吳]特性類, 틀:Llang) $W(E)$는 그 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.

$W(E)\in {\mathrm{H}}^{\bullet }(X;{𝔽}_2)$

$w(E)=\mathrm{Sq}(W(E))=\sum _i{\mathrm{Sq}}^i(W(E))$

구성

슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다.

톰 동형을 통한 구성

틀:본문 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.

$n$차원 실수 벡터 다발 $\pi :E\twoheadrightarrow X$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\mathrm{H}}^i(E,E\setminus X;{𝔽}_2)=\{\begin{array}{cc}0& i<n\\ {\mathrm{H}}^{i-n}(X;{𝔽}_2)& i\ge n\end{array}$

또한, ${\mathrm{H}}^n(E,E\setminus X;{𝔽}_2)$ 속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류 $\mathrm{\Phi }\in {\mathrm{H}}^n(E,E\setminus X;{𝔽}_2)$가 존재한다.

• 모든 $x\in X$에 대하여, 올 ${\pi }^{-1}(x)$에 국한한 코호몰로지류 $\mathrm{\Phi }{|}_{({\pi }^{-1}(x),{\pi }^{-1}(x)\setminus \{x\})}\in {\mathrm{H}}^n({\pi }^{-1}(x),{\pi }^{-1}(x)\setminus \{x\};{𝔽}_2)\cong {\mathrm{H}}^n({ℝ}^n,{ℝ}^n\setminus \{0\};{𝔽}_2)\cong {\mathrm{H}}^n({𝕊}^n;{𝔽}_2)\cong {𝔽}_2$는 0이 아니다.

이를 톰 특성류라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.

${\mathrm{H}}^{\bullet }(X;{𝔽}_2)\stackrel{{\pi }^{*}}{\to }{\mathrm{H}}^{\bullet }(E;{𝔽}_2)\stackrel{⌣\mathrm{\Phi }}{\to }{\mathrm{H}}^{\bullet +n}(E,E\setminus X;{𝔽}_2)$

이 경우, $(⌣\mathrm{\Phi })\circ {\pi }^{*}$는 ${𝔽}_2$ 벡터 공간의 동형 사상이다. 이를 톰 동형이라고 한다.

기본 코호몰로지류 $\mathrm{\Phi }$의 총 스틴로드 제곱

$\mathrm{Sq}\mathrm{\Phi }=\sum _i{\mathrm{Sq}}^i\mathrm{\Phi }\in {\mathrm{H}}^{\ge n}(E,E\setminus X;{𝔽}_2)$

를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다.

$w(E)={((⌣\mathrm{\Phi })\circ {\pi }^{*})}^{-1}(\mathrm{Sq}\mathrm{\Phi })$

무한 사영 공간을 통한 구성

선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.

$n$차원 실수 벡터 다발은 무한 그라스만 다양체 ${\mathrm{Gr}}_n({ℝ}^{\mathrm{\infty }})$에 의하여 분류된다. 특히, 실수 선다발은 무한 사영 공간 ${\mathrm{Gr}}_1({ℝ}^{\mathrm{\infty }})={\mathrm{RP}}^{\mathrm{\infty }}$에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간

${\mathrm{RP}}^{\mathrm{\infty }}=K(\mathbb{Z}/2,1)$

이다.

실수 선다발 $L\twoheadrightarrow X$에 대응하는 연속 함수

$f:X\to {\mathrm{RP}}^{\mathrm{\infty }}$

를 생각하자. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라,

${\mathrm{hom}}_{{\mathrm{hTop}}_{\bullet }}(X,{\mathrm{RP}}^{\mathrm{\infty }})\cong {\mathrm{H}}^1(X;{𝔽}_2)$

이다. 그렇다면, 실수 선다발 $L$의 슈티펠-휘트니 특성류 $w(L)=1+w_1(L)$는 다음과 같다.

$w_1(L)=[f]\in {\mathrm{H}}^1(X;{𝔽}_2)$

여기서 $[f]$는 $f$의 호모토피류를 뜻한다.

성질

일반적으로 특성류는 매끄러움 구조 또는 복소구조에 의존한다. 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 (위상) 다양체의 불변량이다. 즉, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다. 우 정리([吳]定理, 틀:Llang)에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다.

방해물 이론

처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• 가향 벡터 다발이다.
• 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.

특히, 다양체 $M$이 가향 다양체일 필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• 스핀 구조를 갖는다.
• 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.

특히, 다양체 $M$이 스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 $M$위의 유한 차원 실수 벡터 다발 $E$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• 스핀C 구조를 갖는다.
• 1차 슈티펠-휘트니 특성류 $w_1(E)\in \mathrm{H}(M;{𝔽}_2)$가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류 $\beta w_2(E)\in {\mathrm{H}}^3(X;\mathbb{Z})$가 0이다.

특히, 다양체 $M$이 스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

역사

에두아르트 슈티펠(틀:Llang)과 해슬러 휘트니가 발견하였다.

우 특성류는 우원쥔(틀:Zh)이 도입하였다.

같이 보기

• 특성류

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
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